Seja L: P_{1} \rightarrow P_{2} definida por L[p(t)]=t p(t)+p(0). Sejam
S=\{t, 1\} \quad \text { e } \quad S^{\prime}=\{t+1, t-1\}
as bases para P_{1}. Sejam
T=\left\{t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{2}+1, t-1, t+1\right\}
duas bases para P_{2}. Encontre a matriz que representa L em relação a
(a) S e $T
(c) Encontre L(-3 t+3) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
L\colon P_{1}\to P_{2},\quad L[p(t)] = t\,p(t) + p(0),
onde \dim P_{1}=2 e \dim P_{2}=3. As bases dadas são S=\{t,1\}, S'=\{t+1,t-1\} em P_{1} e T=\{t^{2},t,1\}, T'=\{t^{2}+1,t-1,t+1\} em P_{2}.
Queremos (a) a matriz de L em S,T, (b) em S',T' e (c) calcular L(-3t+3) pela definição e verificá-lo via ambas as matrizes.

Passo 2

Cálculo de M_{ST} (base S\to T).
– Para p(t)=t, p(0)=0,
L(t)=t\cdot t + 0 = t^{2},
cuja coordenada em T é [1,0,0]^{T}.
– Para p(t)=1, p(0)=1,
L(1)=t\cdot1 + 1 = t + 1,
cuja coordenada em T é [0,1,1]^{T}.
Logo
M_{ST} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
coluna 1= L(t), coluna 2= L(1).

Passo 3

Cálculo de M_{S'T'} (base S'\to T').
– Para p(t)=t+1, p(0)=1,
L(t+1)=t(t+1)+1 = t^{2}+t+1.
Procuramos x,y,z tais que
t^{2}+t+1 = x\,(t^{2}+1) + y\,(t-1) + z\,(t+1).
Comparando coeficientes obtém-se
x=1,\quad y+z=1,\quad 1 - y + z = 1 \\ \Rightarrow\\ y=z=\tfrac12.
Logo a primeira coluna é \bigl[1,\tfrac12,\tfrac12\bigr]^{T}.
– Para p(t)=t-1, p(0)=-1,
L(t-1)=t(t-1)-1 = t^{2}-t-1,
e pela mesma comparação chega-se a
x=1,\quad y+z=-1,\quad1 - y + z = -1 \\ \Rightarrow\\ y=\tfrac12,\\ z=-\tfrac32.
Assim a segunda coluna é \bigl[1,\tfrac12,-\tfrac32\bigr]^{T}.
Portanto
M_{S'T'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\ \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac32 \end{pmatrix}.

Passo 4

Cálculo direto de L(-3t+3).
Se p(t)=-3t+3 então p(0)=3 e
L(-3t+3)=t(-3t+3)+3 = -3t^{2}+3t+3.

Passo 5

Verificação via M_{ST}.
Coordenadas de -3t+3 em S=\{t,1\} são \bigl[-3,3\bigr]^{T}.
Multiplicando:
M_{ST}\begin{pmatrix}-3\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\ 0 & 1\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix},
que corresponde a -3t^{2}+3t+3 na base T.

Passo 6

Verificação via M_{S'T'}.
Expressamos -3t+3 = a\,(t+1)+b\,(t-1). Da comparação de coeficientes vem
a+b=-3,\quad a-b=3 \\ \Rightarrow\\ a=0,\\ b=-3.
Então
M_{S'T'}\begin{pmatrix}0\\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\ \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac32 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ -3/2\\\ 9/2\end{pmatrix}.
Isso na base T' equivale a
-3\,(t^{2}+1)-\tfrac32\,(t-1)+\tfrac92\,(t+1) = -3t^{2}+3t+3,
confirmando o resultado.

Resposta

(a)
M_{ST} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b)
M_{S'T'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\ \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac32 \end{pmatrix}.
(c)
L(-3t+3) = -3t^{2} + 3t + 3.

Exercícios de Livros Relacionados