Seja L: P_{1} \rightarrow P_{3} definida por L[p(t)]=t^{2} p(t). Sejam
S=\{t, 1\} \text { e } S^{\prime}=\{t, t+1\}
duas bases para P_{1}. Sejam
T=\left\{t^{3}, t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{3}, t^{2}-1, t, t+1\right\}
duas bases para P_{3}. Encontre a matriz que representa L em relação a
S^{\prime} e T^{\prime}

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
L\colon P_{1}\to P_{3},\quad L[p(t)] = t^2\,p(t),
e pede a matriz de L na base de domínio \,S' = \{t,\;t+1\}
e na base de chegada \,T' = \{t^3,\;t^2-1,\;t,\;t+1\}.
Para isso, vamos calcular as imagens dos vetores de S' e expressá-las em coordenadas na base T'.

Passo 2

Calculemos L em cada vetor de S':
  1. Para p(t)=t:
L[t] = t^2\cdot t = t^3.
Como t^3 é exatamente o primeiro vetor de T', sua coordenada em T' é
L[t] = 1\cdot t^3 + 0\cdot(t^2-1) + 0\cdot t + 0\cdot(t+1).

Passo 3

Agora para p(t)=t+1\): \[L[t+1] = t^2\,(t+1) = t^3 + t^2.
Queremos \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha\,t^3 + \beta\,(t^2-1) + \gamma\,t + \delta\,(t+1) = t^3 + t^2.
Expandindo o lado esquerdo:
\alpha\,t^3 + \beta\,t^2 - \beta + (\gamma+\delta)\,t + \delta
e igualando coeficientes a t^3 + t^2 + 0\,t + 0, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 1,\\\ \beta = 1,\\\ \gamma + \delta = 0,\\\\ -\beta + \delta = 0. \end{cases}
Dessa forma \beta=1\] e \(\delta=1, logo \gamma=-1. Assim
L[t+1] = 1\cdot t^3 + 1\cdot(t^2-1) + (-1)\cdot t + 1\cdot(t+1).

Passo 4

Agora montamos a matriz [L]_{T',S'}. Cada coluna corresponde às coordenadas de L de um vetor de S' na base T', na ordem \{t^3,\;t^2-1,\;t,\;t+1\}. Assim
[L]_{T',S'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & -1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna vem de L[t] e a segunda de L[t+1].

Resposta

[L]_{T',S'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & -1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

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