Seja
um operador linear no espaço vetorial
, de dimensão finita. Supondo que A não seja um múltiplo do operador identidade, mostre que existem bases de E do tipo
e
. Relativamente a estas bases, as matrizes de
são diferentes. Conclua que os operadores
são os únicos cuja matriz não depende da base escolhida e que as matrizes do tipo
são as únicas que comutam com todas as matrizes invertíveis
.
Passo 1
O exercício trata de um operador linear A num espaço vetorial E de dimensão finita. Queremos mostrar que, se A não é múltiplo de I, podemos construir duas bases de E em que as matrizes de A são distintas e, a partir disso, concluir que apenas os operadores do tipo αI têm matriz independente da base e que só as matrizes αIₙ conjugam com todas as invertíveis.
Passo 2
Como A não é múltiplo de I, existe algum vetor v em E tal que v e Av são linearmente independentes. De fato, se Av fosse sempre proporcional a v, teríamos A(v)=λ(v)v para todo v, e isso implicaria A=αI.
Passo 3
Escolhemos v tal que {v,Av} é LI. Estendemos esse par a uma base B₁ de E: B₁={v,Av,w₃,…,wₙ}.
Passo 4
Agora construímos a segunda base mudando apenas o segundo vetor: B₂={v,2Av,w₃,…,wₙ}. Como 2Av ainda é LI de v, podemos estendê-lo aos mesmos w₃,…,wₙ.
Passo 5
Na base B₁, a coluna que representa A v tem coordenadas relativas a (v,Av,…) iguais a (0,1,0,…,0). Mas na base B₂ temos A v=Av=0·v+(1/2)·(2Av)+0·w₃+…+0·wₙ, ou seja, a coordenada é (0,1/2,0,…,0). Assim as matrizes [A]{B₁} e [A]{B₂} diferem.
Passo 6
Se um operador tivesse matriz independente da base, não poderíamos produzir duas matrizes diferentes como fizemos; logo só A=αI satisfaz essa propriedade. Do mesmo modo, a única forma de uma matriz M comutar com todo P invertível (P M=P M) é ser escalar, pois o centro da álgebra Mₙ(ℝ) (ou ℂ) é formado só pelos múltiplos da identidade.
Resposta
Os únicos operadores cuja matriz é a mesma em qualquer base são os da forma αI, e, equivalentemente, as únicas matrizes que comutam com todo elemento de GLₙ são as αIₙ.