Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Toda matriz é soma de matrizes de posto 1.
( ) O conjunto das matrizes de posto
em
é um subespaço vetorial.
( ) A matriz
tem posto 2 se, e somente se, existem
tais que
.
( ) Se A:
é um operador linear de posto 1 então
.
( ) Toda matriz é soma de matrizes de posto 1.
( ) O conjunto das matrizes de posto
( ) A matriz
( ) Se A:
Passo 1
A questão pede para classificar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações sobre posto de matrizes em M(m×n) e de operadores lineares em espaços vetoriais. Vamos usar conceitos básicos de decomposição em posto 1, subespaço vetorial, definição de posto via menores e teoria de nulidade e imagem (Teorema da Dimensão e soma direta).
Passo 2
Para mostrar que toda matriz A∈M(m×n) é soma de matrizes de posto 1, basta escrever A em função de suas colunas. Sejam A_{·j} as colunas de A e e_j o j-ésimo vetor da base canônica de K^n. Então cada produto externo
[A = \sum_{j=1}^{n} A_{\cdot j},e_j^T]
é uma soma de matrizes de posto no máximo 1 (cada A_{·j}e_j^T tem posto 1 se A_{·j}≠0, ou 0 caso contrário). Logo a afirmação é verdadeira.
[A = \sum_{j=1}^{n} A_{\cdot j},e_j^T]
é uma soma de matrizes de posto no máximo 1 (cada A_{·j}e_j^T tem posto 1 se A_{·j}≠0, ou 0 caso contrário). Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para verificar se o conjunto de matrizes de posto exatamente k é subespaço vetorial, note que subespaço precisa ser fechado em soma e multiplicação por escalar. Mas se A e B têm posto k, A+B pode ter posto até 2k>k (por exemplo, em M_2×2 somar duas matrizes de posto 1 gera posto 2). Além disso, αA pode ter posto menor que k se α=0. Assim não é subespaço, logo a segunda afirmação é falsa.
Passo 4
Considere a matriz 2×n cujas linhas são (x_1,…,x_n) e (y_1,…,y_n). O posto dela é 2 se, e somente se, as duas linhas são L.I., isto é, não existe λ com y_i=λx_i para todo i. Isso equivale a existir um 2×2 menor não-nulo:
[x_i y_j - x_j y_i \neq 0]
para algum i≠j. Logo a terceira afirmação é verdadeira.
[x_i y_j - x_j y_i \neq 0]
para algum i≠j. Logo a terceira afirmação é verdadeira.
Passo 5
Para um operador A:E→E de posto 1, temos dim Im(A)=1 e, pelo Teorema da Dimensão, dim Ker(A)=dim E -1, então dim Ker(A)+dim Im(A)=dim E. Mas a soma direta exige Ker(A)∩Im(A)={0}. Isso só ocorre se A^2≠0. Existem operadores de posto 1 nilpotentes (A^2=0), em que Im(A)⊂Ker(A) e a soma direta falha. Logo a quarta afirmação é falsa.
Resposta
(V, F, V, F)