Sejam A: E F e B: F G transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Se B é injetiva, prove que o posto de BA é igual ao posto de A. Que condição sobre A assegura que o posto de B A seja igual ao de B ?
8.44. Se E tem dimensão finita, prove que não existem operadores lineares A, B: E E tais que A B-B A=I ou tais que A B-B A seja uma projeção. (Use o traço. Compare com o Exercício 5.13.)

Passo 1

O enunciado envolve o cálculo de posto de composição de transformações lineares. Precisamos usar o Teorema da Dimensão (posto–nulidade) e propriedades de injetividade para mostrar que, se B é injetiva, então ker(BA)=ker(A) e, consequentemente, rank(BA)=rank(A). Também, para igualar rank(BA) a rank(B), devemos encontrar condição sobre im(A) e ker(B). Na segunda parte, mostraremos usando a propriedade tr(AB)=tr(BA) que não existem operadores A,B:Eto E tais que AB-BA=I nem tais que AB-BA seja projeção não-nula.

Passo 2

Como B é injetiva, ker(B)=0. Portanto,
ker(BA)=xin E:,B(A(x))=0=x:,A(x)inker(B)=x:,A(x)=0=ker(A)

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação T, temos rank(T)=dim E - dimker(T). Logo
rank(BA)=dim E-dimker(BA)=dim E-dimker(A)=rank(A)

Passo 4

Para rank(BA)=rank(B), observamos que rank(BA)=dim B(im,A) e rank(B)=dim B(F). Logo precisamos de B(im,A)=B(F), ou seja,
im,A+ker(B)=F

Passo 5

Na segunda parte, usamos que em espaço de dimensão finita tr(AB)=tr(BA). Logo
tr(AB-BA)=0

Passo 6

Se AB-BA=I, então tr(I)=dim Eneq0, contradição. Se P=AB-BA é projeção não-nula ( P^2=P), então tr(P)=rank(P)>0, mas tr(P)=0, outra contradição.
Concluímos que não existem operadores com AB-BA=I nem com AB-BA projeção não-nula.

Resposta

rank(BA)=rank(A). A condição para rank(BA)=rank(B) é im(A)+ker(B)=F. Além disso, não existem operadores lineares A,B:Eto E tais que AB-BA=I nem tais que AB-BA seja projeção não-nula.

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