Sejam
e B:
transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Se B é injetiva, prove que o posto de BA é igual ao posto de A. Que condição sobre A assegura que o posto de
seja igual ao de
?
8.44. Se
tem dimensão finita, prove que não existem operadores lineares
tais que
ou tais que
seja uma projeção. (Use o traço. Compare com o Exercício 5.13.)
8.44. Se
Passo 1
O enunciado envolve o cálculo de posto de composição de transformações lineares. Precisamos usar o Teorema da Dimensão (posto–nulidade) e propriedades de injetividade para mostrar que, se
é injetiva, então
e, consequentemente,
. Também, para igualar
a
, devemos encontrar condição sobre
e
. Na segunda parte, mostraremos usando a propriedade
que não existem operadores
tais que
nem tais que
seja projeção não-nula.
Passo 2
Como
é injetiva,
. Portanto,
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer transformação
, temos
. Logo
Passo 4
Para
, observamos que
e
. Logo precisamos de
, ou seja,
Passo 5
Na segunda parte, usamos que em espaço de dimensão finita
. Logo
Passo 6
Se
, então
, contradição. Se
é projeção não-nula (
), então
, mas
, outra contradição.
Concluímos que não existem operadores com nem com
projeção não-nula.
Concluímos que não existem operadores com