1. Sejam \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 4 \\\\ -6\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -5\end{array}\right], \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\\ b_{2} \\\ b_{3}\end{array}\right] e W=\mathscr{L}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\}.
Obtenha uma descrição implícita de W; ou seja, encontre um conjunto de uma ou mais equações homogêneas que caracterizam os pontos de W. [Sugestão: Quando é que \mathbf{b} pertence a W ?]

Passo 1

O enunciado define \mathbf{u}_{1}=(-2,4,-6), \mathbf{u}_{2}=(1,2,-5) e
W=\mathscr{L}\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\}.
Queremos uma descrição implícita de W, ou seja, encontrar uma ou mais equações homogêneas que caracterizam exatamente os vetores \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) que pertencem a W.

Passo 2

Para dizer que \mathbf{b} pertence a W precisamos ter escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,\mathbf{u}_{1} + \beta\,\mathbf{u}_{2} \;=\;\mathbf{b}.
Em coordenadas isso gera o sistema
\begin{cases} -2\alpha + \beta = b_{1},\\\\ 4\alpha + 2\beta = b_{2},\\\\ -6\alpha -5\beta = b_{3}. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações resolvemos \alpha e \beta:
da primeira vem
\beta = b_{1} + 2\alpha,
substituindo na segunda,
4\alpha + 2(b_{1} + 2\alpha) = b_{2} \quad\Longrightarrow\quad 8\alpha = b_{2} - 2\,b_{1} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{b_{2} - 2\,b_{1}}{8}.
Logo
\beta = b_{1} + 2\alpha = b_{1} + \frac{2\,(b_{2} - 2\,b_{1})}{8} = \frac{2\,b_{1} + b_{2}}{4}.

Passo 4

Para que o terceiro enunciado também seja satisfeito, substituímos \alpha e \beta na terceira equação:
-6\alpha -5\beta \;=\; b_{3}.
Calculando o lado esquerdo em função de b_{1},b_{2}:
-6\cdot\frac{b_{2}-2b_{1}}{8}\;-\;5\cdot\frac{2b_{1}+b_{2}}{4} =\frac{-6(b_{2}-2b_{1})-10(2b_{1}+b_{2})}{8} =\frac{-8b_{1}-16b_{2}}{8} =-b_{1}-2b_{2}.
Logo a terceira equação exige
-b_{1}-2b_{2}=b_{3} \quad\Longleftrightarrow\quad b_{1}+2b_{2}+b_{3}=0.

Resposta

A descrição implícita de W é
W = \bigl\{(b_{1},b_{2},b_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid b_{1}+2b_{2}+b_{3}=0\bigr\}.

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