Sejam as retas r: 2 x+3 y+6=0, s: 6 x-4 y+2=0 e os pontos P1=(-1,1), P2=(0-2).
a. Determine os pontos simétricos Q1 e Q2, aos pontos P1 e P2, respectivamente, em relação à reta r.
b. Determine os pontos simétricos R1 e R2, aos pontos P1 e P2, respectivamente, em relação à reta s.
c. Encontre os pontos simétricos M1 e M2, aos pontos Q1 e Q2, respectivamente, em relação à reta s.
d. Encontre o ponto de interseção das retas r e s. Denote esse ponto P0.
Ache os pontos T1 e T2 simétricos aos pontos P1 e P2, respectivamente, em relação ao ponto P0.
Compare com os pontos obtidos no item c.

Passo 1

A questão dá duas retas r: 2x+3y+6=0 e s: 6x–4y+2=0 e dois pontos P₁=(–1,1), P₂=(0,–2). Precisamos achar: (a) Q₁,Q₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a r; (b) R₁,R₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a s; © M₁,M₂ simétricos de Q₁,Q₂ em relação a s; (d) ponto de interseção P₀ de r e s; depois os pontos T₁,T₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a P₀ e comparar com M₁,M₂.

Passo 2

Para refletir um ponto (x0,y0) em relação à reta ax+by+c=0, usamos a fórmula
De
x'=x0-2a,De
y'=y0-2b,De

Passo 3

Aplicando essa fórmula em r ( a=2,b=3,c=6, a^2+b^2=13) aos pontos P₁ e P₂:
Para P₁=(–1,1):
De
Q1x=-1-2·2·713=-4113,
Q1y=1-2·3·713=-2913
Para P₂=(0,–2):
De
logo Q₂=P₂=(0,–2).

Passo 4

Aplicando a mesma fórmula em s ( a=6,b=-4,c=2, a^2+b^2=52) aos pontos P₁ e P₂:
Para P₁=(–1,1):
De
R1x=-1-2·6·(-tfrac213)=1113,
R1y=1-2·(-4)·(-tfrac213)=-313
Para P₂=(0,–2):
De
R2x=0-2·6·tfrac526=-3013,
R2y=-2-2·(-4)·tfrac526=-613

Passo 5

Agora refletimos Q₁ e Q₂ em relação a s (mesma fórmula com a=6,b=-4,c=2):
Para Q₁=(–41/13,–29/13):
De
M1x=-tfrac4113-2·6·(-tfrac213)=-tfrac1713,
M1y=-tfrac2913-2·(-4)·(-tfrac213)=-tfrac4513
Para Q₂=(0,–2), como Q₂=P₂, M₂ coincide com R₂=\bigl(-\tfrac{30}{13},-\tfrac{6}{13}\bigr).

Passo 6

Para achar P₀ interseção de r e s, resolvemos:
2x+3y+6=0 e 6x-4y+2=0. Da primeira x=(-3y-6)/2;
substituindo em s:
$$-13y-16=0\implies y=-\tfrac{16}{13},
$$
-13y-16=0implies y=-tfrac1613,
Logo P₀=(-15/13,-16/13).

Passo 7

Os pontos simétricos de P₁ e P₂ em relação a P₀ (simetria de ponto) são
T=2P₀-P
Assim
T1=l(2·(-tfrac1513)-(-1),2·(-tfrac1613)-1r)=(-tfrac1713,-tfrac4513),
T2=l(2·(-tfrac1513)-0,2·(-tfrac1613)-(-2)r)=(-tfrac3013,-tfrac613)
Observamos que T₁=M₁ e T₂=M₂.

Resposta

Q₁=(-41/13,-29/13), Q₂=(0,-2);
R₁=(11/13,-3/13), R₂=(-30/13,-6/13);
M₁=(-17/13,-45/13), M₂=(-30/13,-6/13);
P₀=(-15/13,-16/13);
T₁=(-17/13,-45/13), T₂=(-30/13,-6/13);
Logo T₁=M₁ e T₂=M₂.

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