Sejam as retas
e os pontos
.
a. Determine os pontos simétricos
e
, aos pontos
e
, respectivamente, em relação à reta
.
b. Determine os pontos simétricos
e
, aos pontos
e
, respectivamente, em relação à reta
.
c. Encontre os pontos simétricos
e
, aos pontos
e
, respectivamente, em relação à reta
.
d. Encontre o ponto de interseção das retas
e
. Denote esse ponto
.
Ache os pontos
e
simétricos aos pontos
e
, respectivamente, em relação ao ponto
.
Compare com os pontos obtidos no item c.
a. Determine os pontos simétricos
b. Determine os pontos simétricos
c. Encontre os pontos simétricos
d. Encontre o ponto de interseção das retas
Passo 1
A questão dá duas retas r: 2x+3y+6=0 e s: 6x–4y+2=0 e dois pontos P₁=(–1,1), P₂=(0,–2). Precisamos achar: (a) Q₁,Q₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a r; (b) R₁,R₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a s; © M₁,M₂ simétricos de Q₁,Q₂ em relação a s; (d) ponto de interseção P₀ de r e s; depois os pontos T₁,T₂ simétricos de P₁,P₂ em relação a P₀ e comparar com M₁,M₂.
Passo 2
Para refletir um ponto
em relação à reta
, usamos a fórmula
Passo 3
Aplicando essa fórmula em r (
,
) aos pontos P₁ e P₂:
Para P₁=(–1,1):
Para P₁=(–1,1):
Para P₂=(0,–2):
logo Q₂=P₂=(0,–2).
Passo 4
Aplicando a mesma fórmula em s (
,
) aos pontos P₁ e P₂:
Para P₁=(–1,1):
Para P₁=(–1,1):
Para P₂=(0,–2):
Passo 5
Agora refletimos Q₁ e Q₂ em relação a s (mesma fórmula com a=6,b=-4,c=2):
Para Q₁=(–41/13,–29/13):
Para Q₁=(–41/13,–29/13):
Para Q₂=(0,–2), como Q₂=P₂, M₂ coincide com R₂=\bigl(-\tfrac{30}{13},-\tfrac{6}{13}\bigr).
Passo 6
Para achar P₀ interseção de r e s, resolvemos:
2x+3y+6=0 e 6x-4y+2=0. Da primeira x=(-3y-6)/2;
substituindo em s:
2x+3y+6=0 e 6x-4y+2=0. Da primeira x=(-3y-6)/2;
substituindo em s:
$$-13y-16=0\implies y=-\tfrac{16}{13},
$$
Logo P₀=(-15/13,-16/13).
Passo 7
Os pontos simétricos de P₁ e P₂ em relação a P₀ (simetria de ponto) são
Assim
Observamos que T₁=M₁ e T₂=M₂.
Resposta
Q₁=(-41/13,-29/13), Q₂=(0,-2);
R₁=(11/13,-3/13), R₂=(-30/13,-6/13);
M₁=(-17/13,-45/13), M₂=(-30/13,-6/13);
P₀=(-15/13,-16/13);
T₁=(-17/13,-45/13), T₂=(-30/13,-6/13);
Logo T₁=M₁ e T₂=M₂.
R₁=(11/13,-3/13), R₂=(-30/13,-6/13);
M₁=(-17/13,-45/13), M₂=(-30/13,-6/13);
P₀=(-15/13,-16/13);
T₁=(-17/13,-45/13), T₂=(-30/13,-6/13);
Logo T₁=M₁ e T₂=M₂.