- Suponha que
sejam polinômios que geram um subespaço bidimensional
de
. Descreva como se pode obter uma base para
examinando os quatro polinômios e sem fazer quase nenhum cálculo.
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro polinômios
que geram um subespaço
de dimensão 2. Queremos extrair, por inspeção, exatamente dois deles que sejam linearmente independentes, e esses dois formarão uma base de
. Para isso usaremos o fato de que polinômios de graus distintos são sempre independentes, e quando têm o mesmo grau basta comparar o coeficiente líder.
Passo 2
Observe o grau de cada
. Seja
Entre os quatro, identifique aquele de maior grau. Por exemplo, suponha que
Então
não pode ser combinação linear dos outros com grau estritamente menor, logo
e é um bom candidato a entrar na base.
Passo 3
Agora precisamos de um segundo polinômio
que não seja múltiplo escalar de
. Há dois casos:
-
Existe algum
tal que . Nesse caso, já garante independência de . -
Todos os demais têm o mesmo grau
. Então compare os coeficientes líderes (os coeficientes de ) desses polinômios; escolha cujo coeficiente líder não seja um escalar múltiplo do coeficiente líder de . Assim não é múltiplo de e formam um par independente.
Passo 4
Depois de escolher
e
conforme o passo anterior, concluímos que
é um conjunto de dois polinômios linearmente independentes em
. Como
, eles formam base de
. Os outros dois polinômios serão combinações lineares desses.
Resposta
Uma base de
é dada por quaisquer dois polinômios
extraídos de
de forma que:
-
seja de grau máximo entre os quatro, e -
tenha grau diferente de ou, se tiver o mesmo grau, coeficiente líder não proporcional ao de .