1. Suponha que \mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \mathbf{p}_{3}, \mathbf{p}_{4} sejam polinômios que geram um subespaço bidimensional H de \mathbb{P}_{5}. Descreva como se pode obter uma base para H examinando os quatro polinômios e sem fazer quase nenhum cálculo.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro polinômios \mathbf{p}_{1},\mathbf{p}_{2},\mathbf{p}_{3},\mathbf{p}_{4}\in\mathbb{P}_{5} que geram um subespaço H de dimensão 2. Queremos extrair, por inspeção, exatamente dois deles que sejam linearmente independentes, e esses dois formarão uma base de H. Para isso usaremos o fato de que polinômios de graus distintos são sempre independentes, e quando têm o mesmo grau basta comparar o coeficiente líder.

Passo 2

Observe o grau de cada \mathbf{p}_{i}. Seja
\deg(\mathbf{p}_{i}) = d_i,\quad i=1,2,3,4.
Entre os quatro, identifique aquele de maior grau. Por exemplo, suponha que
d_k = \max\{d_1,d_2,d_3,d_4\}.
Então \mathbf{p}_k não pode ser combinação linear dos outros com grau estritamente menor, logo \mathbf{p}_k\neq 0 e é um bom candidato a entrar na base.

Passo 3

Agora precisamos de um segundo polinômio \mathbf{p}_\ell que não seja múltiplo escalar de \mathbf{p}_k. Há dois casos:
  1. Existe algum i\neq k tal que d_i\neq d_k. Nesse caso, \deg(\mathbf{p}_i)\neq\deg(\mathbf{p}_k) já garante independência de \{\mathbf{p}_k,\mathbf{p}_i\}.
  2. Todos os demais têm o mesmo grau d_k. Então compare os coeficientes líderes (os coeficientes de x^{d_k}) desses polinômios; escolha \mathbf{p}_\ell cujo coeficiente líder não seja um escalar múltiplo do coeficiente líder de \mathbf{p}_k. Assim \mathbf{p}_\ell não é múltiplo de \mathbf{p}_k e formam um par independente.

Passo 4

Depois de escolher \mathbf{p}_k e \mathbf{p}_\ell conforme o passo anterior, concluímos que \{\mathbf{p}_k,\mathbf{p}_\ell\} é um conjunto de dois polinômios linearmente independentes em H. Como \dim H=2, eles formam base de H. Os outros dois polinômios serão combinações lineares desses.

Resposta

Uma base de H é dada por quaisquer dois polinômios \mathbf{p}_k,\mathbf{p}_\ell extraídos de \{\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3,\mathbf{p}_4\} de forma que:
  1. \mathbf{p}_k seja de grau máximo entre os quatro, e
  2. \mathbf{p}_\ell tenha grau diferente de \mathbf{p}_k ou, se tiver o mesmo grau, coeficiente líder não proporcional ao de \mathbf{p}_k.

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