18 À temperaturas elevadas, o dióxido de nitrogênio, \mathrm{NO}_{2}, se decompõe em NO e \mathrm{O}_{2}. Se y(t) é a concentração de \mathrm{NO}_{2} em mols por litro, então, a 600^{\circ} \mathrm{K}, y(t) varia de acordo com a lei de reação de segunda ordem d y / d t=-0,05 y^{2} para o tempo t em segundos. Expresse y em termos de t e da concentração inicial y_{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá a variação temporal da concentração y(t) de \mathrm{NO}_2 segundo a lei de reação de segunda ordem
\frac{dy}{dt} = -0,05\,y^2,
com condição inicial y(0)=y_0. Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis y e t:
\frac{dy}{y^2} = -0,05\,dt.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Calculando as integrais:
\int \frac{dy}{y^2} = \int -0,05\,dt \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y} = -0,05\,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos y(0)=y_0 para achar C:
-\,\frac{1}{y_0} = C.
Substituindo de volta:
-\,\frac{1}{y} = -0,05\,t - \frac{1}{y_0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 0,05\,t + \frac{1}{y_0}.
Invertemos para obter y(t):
y(t) = \frac{1}{0,05\,t + \dfrac{1}{y_0}} = \frac{y_0}{1 + 0,05\,y_0\,t}.

Resposta

y(t) = \frac{y_0}{1 + 0,05\,y_0\,t}.

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