17 Uma sonda espacial é lançada da Terra. Des-prezando-se a resistência do ar, uma equação diferencial para a velocidade após a queima do combustível é v(d v / d t)=-k y^{-2}, onde y é a distância do centro da Terra e k é uma constante positiva. Se y_{0} é a distância do centro da Terra por ocasião da queima e v_{0} é a velocidade correspondente, expresse v como uma função de y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
v\,\frac{dv}{dt} = -\,k\,y^{-2}
onde y(t) é a distância do centro da Terra e k>0 é constante. Queremos obter v como função de y, usando que no instante em que y=y_{0} temos v=v_{0}. Vamos usar a regra da cadeia para trocar dv/dt por derivada em relação a y e depois separar variáveis.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dt} = v\,\frac{dv}{dy}.
Substituindo em v\,(dv/dt) obtemos
v^{2}\,\frac{dv}{dy} = -\,k\,y^{-2}.

Passo 3

Separamos as variáveis v e y:
v^{2}\,dv = -\,k\,y^{-2}\,dy.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int v^{2}\,dv = \int -\,k\,y^{-2}\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}v^{3} = \frac{k}{y} + C.

Passo 5

Usamos as condições iniciais v(y_{0})=v_{0}:
\frac{1}{3}v_{0}^{3} = \frac{k}{y_{0}} + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{3}v_{0}^{3} - \frac{k}{y_{0}}.

Passo 6

Substituímos C e isolamos v:
\frac{1}{3}v^{3} = \frac{k}{y} + \Bigl(\frac{1}{3}v_{0}^{3} - \frac{k}{y_{0}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad v^{3} = v_{0}^{3} + 3\,k\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y_{0}}\Bigr)
\Longrightarrow\quad v(y) = \Bigl(v_{0}^{3} + 3\,k\bigl(\tfrac{1}{y} - \tfrac{1}{y_{0}}\bigr)\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

v(y) = \Bigl(v_{0}^{3} + 3\,k\bigl(\tfrac{1}{y} - \tfrac{1}{y_{0}}\bigr)\Bigr)^{\!1/3}.

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