17 Uma sonda espacial é lançada da Terra. Des-prezando-se a resistência do ar, uma equação diferencial para a velocidade após a queima do combustível é
, onde
é a distância do centro da Terra e
é uma constante positiva. Se
é a distância do centro da Terra por ocasião da queima e
é a velocidade correspondente, expresse
como uma função de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a distância do centro da Terra e
é constante. Queremos obter
como função de
, usando que no instante em que
temos
. Vamos usar a regra da cadeia para trocar
por derivada em relação a
e depois separar variáveis.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Usamos as condições iniciais
:
Passo 6
Substituímos
e isolamos
: