2.3 Usando a desigualdade de Chebichev mostre que
[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi(n)}{n}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limntoinfty pi(n)n=0, usando a desigualdade de Chebichev (isto é, os limites assimptóticos que Chebichev demonstrou para pi(n)).

Passo 2

Chebichev provou que existem constantes positivas A e B tais que, para todo n suficientemente grande, vale a dupla desigualdade
A,nln n;<=;pi(n);<=;B,nln n

Passo 3

Dividindo todos os termos da desigualdade anterior por n, obtemos
,A,1ln n;<=;pi(n)n;<=;B,1ln n

Passo 4

Como ln nto+infty quando ntoinfty, tanto A/ln n quanto B/ln n tendem a zero. Pelo teorema do confronto (sandwich), concluímos que
limntoinftypi(n)n=0

Resposta

0

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