Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2 n ou 2 n+1 com n in Z. Os números da forma 2 n são chamados pares e os da forma 2 n+1 são chamados ímpares. Mostre que:
a soma de dois números pares é par;

Passo 1

Resumindo: queremos usar o Teorema da Divisão Euclidiana para mostrar que todo inteiro é da forma 2n ou 2n+1 (definindo pares e ímpares) e depois provar que a soma de dois pares é par.

Passo 2

Pelo Teorema da Divisão Euclidiana aplicado a 2, para cada inteiro a existem únicos qinZ e rin0,1 tais que
a = 2q + r
Se r=0 temos a=2q (par). Se r=1 temos a=2q+1 (ímpar).

Passo 3

Para a soma de dois pares, seja a e b pares. Então existem m,ninZ com
a=2m, b=2n
Logo
a+b = 2m + 2n = 2(m+n)
Como m+ninZ, concluímos que a+b é da forma 2k e portanto é par.

Resposta

Como a soma de dois pares 2m e 2n é
2m+2n=2(m+n),
e m+n é inteiro, segue que a soma é par.

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