Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
a soma de dois números pares é par;
a soma de dois números pares é par;
Passo 1
Resumindo: queremos usar o Teorema da Divisão Euclidiana para mostrar que todo inteiro é da forma 2n ou 2n+1 (definindo pares e ímpares) e depois provar que a soma de dois pares é par.
Passo 2
Pelo Teorema da Divisão Euclidiana aplicado a 2, para cada inteiro
existem únicos
e
tais que
Se
temos
(par). Se
temos
(ímpar).
Passo 3
Para a soma de dois pares, seja
e
pares. Então existem
com
Logo
Como
, concluímos que
é da forma
e portanto é par.
Resposta
Como a soma de dois pares
e
é
e
é inteiro, segue que a soma é par.