Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
o produto de dois números é par se um deles é par;
o produto de dois números é par se um deles é par;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando a divisão euclidiana com divisor 2, todo inteiro é da forma
ou
(respectivamente pares e ímpares), e depois provar que o produto de dois inteiros é par sempre que um deles for par.
Passo 2
Pela divisão euclidiana, dado qualquer
e o divisor
, existem únicos
tais que
e
. Como só há duas possibilidades para
, temos
ou
. Logo
mostrando que todo inteiro é ou da forma
(par) ou da forma
(ímpar).
Passo 3
Se um dos fatores de um produto é par, digamos
é par, então existe
tal que
. Para qualquer
,
Como
é inteiro, concluímos que
é da forma
, ou seja, é par.
Resposta
Se
é par, então para qualquer
temos
, logo o produto é par.