Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2 n ou 2 n+1 com n in Z. Os números da forma 2 n são chamados pares e os da forma 2 n+1 são chamados ímpares. Mostre que:
o produto de dois números é par se um deles é par;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando a divisão euclidiana com divisor 2, todo inteiro é da forma 2n ou 2n+1 (respectivamente pares e ímpares), e depois provar que o produto de dois inteiros é par sempre que um deles for par.

Passo 2

Pela divisão euclidiana, dado qualquer ainZ e o divisor 2, existem únicos q,rinZ tais que a=2q+r e 0<= r<2. Como só há duas possibilidades para r, temos r=0 ou r=1. Logo
a=2qou a=2q+1,
mostrando que todo inteiro é ou da forma 2n (par) ou da forma 2n+1 (ímpar).

Passo 3

Se um dos fatores de um produto é par, digamos a é par, então existe kinZ tal que a=2k. Para qualquer binZ,
acdot b=(2k)cdot b=2,(kcdot b)
Como kcdot b é inteiro, concluímos que acdot b é da forma 2n, ou seja, é par.

Resposta

Se a=2k é par, então para qualquer binZ temos a,b=2,(k,b), logo o produto é par.

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