Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
o produto de dois números ímpares é ímpar;
o produto de dois números ímpares é ímpar;
Passo 1
Resumo do enunciado: A questão usa o algoritmo da divisão euclidiana para classificar inteiros em pares (forma
) ou ímpares (forma
), e pede para provar que o produto de dois ímpares é ímpar.
Passo 2
Do algoritmo da divisão euclidiana, para qualquer
existe
com
tal que
. Como
só pode ser 0 ou 1, concluímos que
é da forma
(par) ou
(ímpar).
Passo 3
Sejam
e
números ímpares. Então existem
tais que
e
.
Passo 4
Multiplicando
e
, temos
Note que
logo
Como
é inteiro,
está na forma
, provando que é ímpar.
Resposta
O produto de dois números ímpares é da forma
, portanto é ímpar.