Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2 n ou 2 n+1 com n in Z. Os números da forma 2 n são chamados pares e os da forma 2 n+1 são chamados ímpares. Mostre que:
o produto de dois números ímpares é ímpar;

Passo 1

Resumo do enunciado: A questão usa o algoritmo da divisão euclidiana para classificar inteiros em pares (forma 2n) ou ímpares (forma 2n+1), e pede para provar que o produto de dois ímpares é ímpar.

Passo 2

Do algoritmo da divisão euclidiana, para qualquer z in Z existe q,r in Z com 0 <= r < 2 tal que z = 2q + r. Como r só pode ser 0 ou 1, concluímos que z é da forma 2q (par) ou 2q+1 (ímpar).

Passo 3

Sejam x e y números ímpares. Então existem a,b in Z tais que x = 2a + 1 e y = 2b + 1.

Passo 4

Multiplicando x e y, temos
x cdot y = (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1
Note que
4ab + 2a + 2b = 2(2ab + a + b),
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x cdot y = 2(2ab + a + b) + 1
Como k = 2ab + a + b é inteiro, xcdot y está na forma 2k+1, provando que é ímpar.

Resposta

O produto de dois números ímpares é da forma 2k+1, portanto é ímpar.

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