Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
a soma de dois números ímpares é par;
a soma de dois números ímpares é par;
Passo 1
Neste exercício, a gente vai usar o algoritmo da divisão euclidiana com divisor 2 para mostrar que qualquer inteiro é ou múltiplo de 2 (par) ou deixa resto 1 na divisão por 2 (ímpar), e depois provar que a soma de dois ímpares dá um par.
Passo 2
Pela divisão euclidiana, dado um inteiro
, existem inteiros únicos
e
tais que
Como
só pode ser 0 ou 1, concluímos que:
Se
, então
, ou seja,
é par.
Se
, então
, ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Definindo assim os números pares como aqueles da forma
e os ímpares como
, vamos agora somar dois ímpares. Seja
com
. Então
Como
pode ser escrito como
, ele é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Resposta
A soma de dois números ímpares é par, pois se
e
, então
, que é múltiplo de 2.