Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2 n ou 2 n+1 com n in Z. Os números da forma 2 n são chamados pares e os da forma 2 n+1 são chamados ímpares. Mostre que:
a soma de dois números ímpares é par;

Passo 1

Neste exercício, a gente vai usar o algoritmo da divisão euclidiana com divisor 2 para mostrar que qualquer inteiro é ou múltiplo de 2 (par) ou deixa resto 1 na divisão por 2 (ímpar), e depois provar que a soma de dois ímpares dá um par.

Passo 2

Pela divisão euclidiana, dado um inteiro k, existem inteiros únicos q e r tais que
k = 2q + rcom 0 <= r < 2
Como r só pode ser 0 ou 1, concluímos que:
bul<=t Se r=0, então k=2q, ou seja, k é par.
bul<=t Se r=1, então k=2q+1, ou seja, k é ímpar.

Passo 3

Definindo assim os números pares como aqueles da forma 2n e os ímpares como 2n+1, vamos agora somar dois ímpares. Seja
a=2m+1e b=2n+1,
com m,nin Z. Então
a+b=(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1)
Como a+b pode ser escrito como 2timesl(m+n+1r), ele é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Resposta

A soma de dois números ímpares é par, pois se a=2m+1 e b=2n+1, então a+b=2(m+n+1), que é múltiplo de 2.

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