Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
\int_{-1}^{1} 5 x^{5}+3 x^{3}+\operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\bigl(5x^{5}+3x^{3}+\sin(2x)\bigr)\,dx.
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para reconhecer antiderivadas e, sobretudo, a propriedade de simetria de funções pares e ímpares em intervalos simétricos.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, escrevemos
\int_{-1}^{1}\bigl(5x^{5}+3x^{3}+\sin(2x)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}5x^{5}\,dx +\int_{-1}^{1}3x^{3}\,dx +\int_{-1}^{1}\sin(2x)\,dx.

Passo 3

Observamos que as funções
\displaystyle x\mapsto x^{5},
\displaystyle x\mapsto x^{3} e
\displaystyle x\mapsto \sin(2x)
são todas ímpares, pois satisfazem f(-x)=-f(x). Pela propriedade da integral de uma função ímpar em intervalo simétrico \bigl[-a,a\bigr], cada uma das integrais acima vale zero.

Passo 4

Somando os três resultados zero, obtemos
\int_{-1}^{1}\bigl(5x^{5}+3x^{3}+\sin(2x)\bigr)\,dx = 0 + 0 + 0 = 0.

Resposta

0

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