Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
\int_{1}^{9} \sqrt{3 x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{9} \sqrt{3x-2}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar de uma substituição para aplicar a regra da potência na integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x - 2
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du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Quando x=1, u=3\cdot1-2=1. Quando x=9, u=3\cdot9-2=25. Assim
\int_{1}^{9} \sqrt{3x-2}\,dx = \int_{u=1}^{u=25} \sqrt{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int_{1}^{25} u^{\tfrac12}\,du.
Pela regra da potência,
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Portanto a antiderivada em u é
\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{2}{9}\,u^{\tfrac32},
isto é, voltando a x,
F(x) = \frac{2}{9}\,(3x-2)^{\tfrac32}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{9} \sqrt{3x-2}\,dx = F(9) - F(1).
Calculamos
F(9) = \frac{2}{9}\,(25)^{\tfrac32} = \frac{2}{9}\times125 = \frac{250}{9},
F(1) = \frac{2}{9}\,(1)^{\tfrac32} = \frac{2}{9}.
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F(9)-F(1) = \frac{250}{9} - \frac{2}{9} = \frac{248}{9}.

Resposta

\int_{1}^{9} \sqrt{3x-2}\,dx = \frac{248}{9}.

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