(Ålgebra de Logaritmos) No método do Fator Integrante, frequentemente chegamos à expressāo e^{\ln (x^{2})+C}. Simplificando essa expressão corretamente, obtemos:
a) x^{2}+e^{C}
b) K x^{2} (onde K=e^{C} é uma constante)
c) x^{2}+C
d) e^{x^{2}}+C

Passo 1

O enunciado pede para simplificar corretamente a expressão \displaystyle e^{\ln(x^{2})+C}. As alternativas fornecidas são:
a) \displaystyle x^{2}+e^{C}
b) \displaystyle K x^{2} (onde \displaystyle K=e^{C} é uma constante)
c) \displaystyle x^{2}+C
d) \displaystyle e^{x^{2}}+C
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão original é \displaystyle e^{\ln(x^{2})+C}.
  • \displaystyle C é uma constante (real).
  • A função \displaystyle \ln(x^{2}) está definida para \displaystyle x\neq 0.

Passo 2

Propriedade básica que vamos usar: para quaisquer números (ou expressões) \displaystyle a e \displaystyle b vale
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}.
Explicação rápida: a função exponencial satisfaz as leis dos expoentes, então somar expoentes corresponde a multiplicar potências. Essa é uma identidade direta da definição da exponencial.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao expoente da nossa expressão:
e^{\ln(x^{2})+C}=e^{\ln(x^{2})}\,e^{C}.

Passo 4

Agora simplificamos e^{\ln(x^{2})}. Use a identidade \displaystyle \ln(x^{2})=2\ln|x| (válida para \displaystyle x\neq0). Então
e^{\ln(x^{2})}=e^{2\ln|x|}=\bigl(e^{\ln|x|}\bigr)^{2}=|x|^{2}=x^{2}.
Observação: \displaystyle |x|^{2}=x^{2} para todo \displaystyle x, então a simplificação resulta em \displaystyle x^{2} sempre que \displaystyle x\neq0.

Passo 5

Substituindo o resultado do passo anterior em \displaystyle e^{\ln(x^{2})}\,e^{C} obtemos
x^{2}\,e^{C}.
Agora definimos a constante multiplicativa \displaystyle K=e^{C}. Como \displaystyle e^{C}>0, \displaystyle K é uma constante positiva; muitas vezes, em soluções de EDO, escrevemos apenas \displaystyle K para indicar uma constante arbitrária (aqui positiva). Assim a expressão fica
K x^{2}.

Passo 6

Por que as outras alternativas estão erradas?
  • (a) \displaystyle x^{2}+e^{C} está errada porque e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b} em geral.
  • (c) \displaystyle x^{2}+C está errada porque o constante aparece multiplicando x^{2} (vindo de e^{C}), não somando.
  • (d) \displaystyle e^{x^{2}}+C está errada porque trocar \ln(x^{2}) por x^{2} dentro da exponencial não é válido; e^{\ln(x^{2})}=x^{2}, não e^{x^{2}}.

Resposta

b) K x^{2} (onde K=e^{C} é uma constante)

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