(Ålgebra de Logaritmos) No método do Fator Integrante, frequentemente chegamos à expressāo
. Simplificando essa expressão corretamente, obtemos:
a)
b)
(onde
é uma constante)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar corretamente a expressão
. As alternativas fornecidas são:
a)
b) (onde
é uma constante)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão original é
. -
é uma constante (real). - A função
está definida para .
Passo 2
Propriedade básica que vamos usar: para quaisquer números (ou expressões)
e
vale
Explicação rápida: a função exponencial satisfaz as leis dos expoentes, então somar expoentes corresponde a multiplicar potências. Essa é uma identidade direta da definição da exponencial.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao expoente da nossa expressão:
Passo 4
Agora simplificamos
. Use a identidade
(válida para
). Então
Observação:
para todo
, então a simplificação resulta em
sempre que
.
Passo 5
Substituindo o resultado do passo anterior em
obtemos
Agora definimos a constante multiplicativa
. Como
,
é uma constante positiva; muitas vezes, em soluções de EDO, escrevemos apenas
para indicar uma constante arbitrária (aqui positiva). Assim a expressão fica
Passo 6
Por que as outras alternativas estão erradas?
- (a)
está errada porque em geral. - (c)
está errada porque o constante aparece multiplicando (vindo de ), não somando. - (d)
está errada porque trocar por dentro da exponencial não é válido; , não .
Resposta
b)
(onde
é uma constante)