(Regra da Cadeia e Produto) A maioria das equaçōes diferenciais exige derivar funções compostas. Se a funçāo é dada por y(t)=e^{-3 t} \sin (2 t), qual é a derivada \frac{d y}{dt} ?
(a) -3 e^{-3 t} \cos (2 t)
b) e^{-3 t}(2 \cos (2 t))-3 e^{-3 t} \sin (2 t)
c) -6 e^{-3 t} \cos (2 t)
d) e^{-3 t} \sin (2 t)+e^{-3 t} \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado dá a função \,y(t)=e^{-3 t}\sin(2 t)\, e pede a derivada \dfrac{dy}{dt}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas funções de t: uma exponencial \,e^{-3t}\, e uma trigonométrica \,\sin(2t).
  • Queremos \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{-3 t}\sin(2 t)\bigr).
    O objetivo será aplicar regras de diferenciação apropriadas (regra do produto e regra da cadeia) para encontrar a derivada passo a passo.

Passo 2

Regra do produto (fórmula e ideia): se \,u(t) e \,v(t) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Intuição rápida: derivate uma função mantendo a outra fixa, e some os dois termos (é como distribuir a variação entre os fatores).

Passo 3

Regra da cadeia (fórmula e ideia): se F(x) é diferenciável e x=g(t) também, então
\frac{d}{dt}F(g(t))=F'(g(t))\cdot g'(t).
Exemplos úteis que vamos usar:
  • Para F(x)=e^{x} e x=u(t):
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}.
  • Para F(x)=\sin x e x=u(t):
\frac{d}{dt}\sin(u(t))=u'(t)\cos(u(t)).

Passo 4

Identificar os fatores do produto e derivá-los:
  • Tome u(t)=e^{-3t}. Aqui u(t)=e^{w(t)} com w(t)=-3t. Então w'(t)=-3 e, pela regra da cadeia,
u'(t)=\frac{d}{dt}e^{-3t}=(-3)\,e^{-3t}=-3e^{-3t}.
  • Tome v(t)=\sin(2t). Aqui v(t)=\sin(z(t)) com z(t)=2t. Então z'(t)=2 e, pela regra da cadeia,
v'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t).

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os u'(t), u(t), v'(t), v(t) encontrados:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}\sin(2t)\bigr)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Substituindo:
\frac{dy}{dt}=(-3e^{-3t})\sin(2t)+e^{-3t}\cdot(2\cos(2t)).

Passo 6

Fatorar e^{-3t} para simplificar a expressão:
\frac{dy}{dt}=e^{-3t}\bigl(2\cos(2t)-3\sin(2t)\bigr).
Essa é a forma final da derivada.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a expressão coincide com a alternativa (b).

Resposta

(b) e^{-3 t}\bigl(2 \cos (2 t)\bigr)-3 e^{-3 t}\sin (2 t)

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