(Regra da Cadeia e Produto) A maioria das equaçōes diferenciais exige derivar funções compostas. Se a funçāo é dada por
, qual é a derivada
?
(a)
b)
c)
d)
(a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de duas funções de
: uma exponencial e uma trigonométrica . - Queremos
.
O objetivo será aplicar regras de diferenciação apropriadas (regra do produto e regra da cadeia) para encontrar a derivada passo a passo.
Passo 2
Regra do produto (fórmula e ideia): se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Intuição rápida: derivate uma função mantendo a outra fixa, e some os dois termos (é como distribuir a variação entre os fatores).
Passo 3
Regra da cadeia (fórmula e ideia): se
é diferenciável e
também, então
Exemplos úteis que vamos usar:
- Para
e :
- Para
e :
Passo 4
Identificar os fatores do produto e derivá-los:
- Tome
. Aqui com . Então e, pela regra da cadeia,
- Tome
. Aqui com . Então e, pela regra da cadeia,
Passo 5
Aplicar a regra do produto com os
,
,
,
encontrados:
Substituindo:
Passo 6
Fatorar
para simplificar a expressão:
Essa é a forma final da derivada.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a expressão coincide com a alternativa (b).
Resposta
(b)