(Raizes Complexas) Para analisar vibraçōes em estruturas (Sistema Massa-Mola), precisamos resolver a equaçāo caracteristica r^{2}+4=0. Quais sāo as raízes desta equaçāo?
a) r=2 e r=-2
(b) r=4 e r=-4
c) r=2 i e r=-2 i
d) Nāo possui raízes em nenhum conjunto numérico.

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
r^{2}+4=0
e pergunta quais são as raízes dessa equação. As alternativas fornecidas são:
(a) r=2 e r=-2
(b) r=4 e r=-4
(c) r=2i e r=-2i
(d) Não possui raízes em nenhum conjunto numérico.

Passo 2

Isolamos r^{2} subtraindo 4 dos dois lados:
r^{2} = -4.
Isso significa que o quadrado de r é um número negativo.
Quando o quadrado de um número é negativo, entramos no campo dos números complexos. Introduzimos a unidade imaginária i definida por
i^{2} = -1.
Com essa definição, podemos escrever a raiz quadrada de um número negativo usando i. Em particular, para -4 podemos usar a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a e b são apropriados (aqui 4 e -1).

Passo 3

Calculamos as raízes tomando raiz quadrada em ambos os lados:
r = \pm\sqrt{-4}.
Usando \sqrt{-4}=\sqrt{4}\sqrt{-1} e \sqrt{-1}=i, obtemos
r = \pm 2i.
Verificação rápida: (2i)^{2}=4i^{2}=4(-1)=-4 e (-2i)^{2}=4(-1)=-4, portanto ambos satisfazem a equação original. Note que as raízes aparecem em par conjugado ( 2i e -2i). Em termos de vibrações (sistema massa-mola), raízes puramente imaginárias indicam oscilações harmônicas puras (sem amortecimento), ou seja, movimento oscilatório senoidal.

Passo 4

Comparando com as alternativas dadas, a alternativa (c) corresponde exatamente às raízes que encontramos.

Resposta

(c) r=2i e r=-2i

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