(Raizes Complexas) Para analisar vibraçōes em estruturas (Sistema Massa-Mola), precisamos resolver a equaçāo caracteristica
. Quais sāo as raízes desta equaçāo?
a)
e
(b)
e
c)
e
d) Nāo possui raízes em nenhum conjunto numérico.
a)
(b)
c)
d) Nāo possui raízes em nenhum conjunto numérico.
Passo 1
O enunciado dá a equação característica
e pergunta quais são as raízes dessa equação. As alternativas fornecidas são:
(a) e
(b) e
(c) e
(d) Não possui raízes em nenhum conjunto numérico.
(a)
(b)
(c)
(d) Não possui raízes em nenhum conjunto numérico.
Passo 2
Isolamos
subtraindo
dos dois lados:
Isso significa que o quadrado de
é um número negativo.
Quando o quadrado de um número é negativo, entramos no campo dos números complexos. Introduzimos a unidade imaginária definida por
Quando o quadrado de um número é negativo, entramos no campo dos números complexos. Introduzimos a unidade imaginária
Com essa definição, podemos escrever a raiz quadrada de um número negativo usando
. Em particular, para
podemos usar a propriedade
quando
e
são apropriados (aqui
e
).
Passo 3
Calculamos as raízes tomando raiz quadrada em ambos os lados:
Usando
e
, obtemos
Verificação rápida:
e
, portanto ambos satisfazem a equação original. Note que as raízes aparecem em par conjugado (
e
). Em termos de vibrações (sistema massa-mola), raízes puramente imaginárias indicam oscilações harmônicas puras (sem amortecimento), ou seja, movimento oscilatório senoidal.
Passo 4
Comparando com as alternativas dadas, a alternativa (c) corresponde exatamente às raízes que encontramos.
Resposta
(c)
e