13- Considere uma partícula de m que pode se mover livremente (V(x)=0) sobre o eixo x entre os pontos x=-a / 2 e x=+a / 2, mas que está estritamente confinada a esta região, isto é, a partícula oscila entre as paredes em x= \pm a / 2 de uma caixa unidimensional. A autofunção de onda associada com esta partícula, dentro do domínio x= \pm a / 2, é dada pela expressão abaixo.
\Psi(x, t)=A \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right) \cdot \exp \left[-i\left(\frac{E}{h}\right) t\right]
(a) Verifique se esta função (ou autofunção) de onda é uma solução da Schroedinger na região considerada; (b) determine também o valor da energia total E da partícula no primeiro estado excitado \left(E_{2}\right) e mostre que ela é E_{2}=4 E_{1}; (c) qual sua conclusão a respeito da autofunção usada para determinar a energia da partícula?
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}+V(x) \Psi=i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m confinada rigidamente na região -a/2 \le x \le +a/2 com potencial V(x)=0 dentro da caixa e paredes infinitas nas bordas (fora da região a função de onda é zero). A autofunção fornecida, válida dentro da caixa, é
\Psi(x,t)=A\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\cdot \exp\!\left[-i\left(\frac{E}{h}\right)t\right].
O enunciado pede:
(a) verificar se essa \Psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V(x)\Psi = i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}
na região considerada (onde V(x)=0);
(b) determinar o valor da energia total E da partícula para o primeiro estado excitado E_2 e mostrar que E_2=4E_1;
(c) tirar a conclusão sobre a autofunção usada para determinar a energia da partícula.
Informações relevantes dadas:
  • A função espacial é \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) dentro de -a/2\le x\le a/2.
  • Há um fator temporal \exp\!\left[-i\left(\dfrac{E}{h}\right)t\right] (note que o enunciado usa h aqui enquanto a equação de Schrödinger usa \hbar; isso é importante e vou tratar abaixo).
  • V(x)=0 dentro da caixa; fora a partícula está confinada (função de onda nula nas paredes).

Passo 2

Verificação das condições de contorno (checar se a função espacial zera nas paredes). Isso é fundamental para um poço de potencial infinito: a função de onda deve ser zero em x=\pm a/2.
Calcular \Psi nas paredes:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\Bigg|_{x=+a/2}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{a}{2}\right)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\Bigg|_{x=-a/2}=\operatorname{sen}\!\left(-\pi\right)=0.
Portanto \Psi(\pm a/2,t)=0 (qualquer que seja A e o fator temporal). Conclusão: a função satisfaz as condições de contorno do poço infinito (número de nós apropriado).

Passo 3

Cálculo das derivadas necessárias para verificar a equação de Schrödinger. Primeiro escrevo um parâmetro conveniente:
k=\frac{2\pi}{a}.
A função é \Psi(x,t)=A\sin(kx)\,T(t) com T(t)=\exp\!\big[-i\big(\dfrac{E}{h}\big)t\big].
Derivada segunda em x:
\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=A\frac{d^2}{dx^2}\big(\sin(kx)\big)T(t) = A\big(-k^2\sin(kx)\big)T(t) = -k^2\Psi(x,t).
Derivada em t:
\frac{\partial\Psi}{\partial t}=A\sin(kx)\frac{dT}{dt} = A\sin(kx)\left(-i\frac{E}{h}\right)T(t) = -i\frac{E}{h}\Psi(x,t).
Agora substituo na equação de Schrödinger (lembrando que V(x)=0 nesta região). O lado esquerdo espacial dá:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = -\frac{\hbar^2}{2m}\big(-k^2\Psi\big) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi.
O lado direito temporal dá:
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = i\hbar\left(-i\frac{E}{h}\Psi\right) = \hbar\frac{E}{h}\Psi.
Para que a equação se cumpra precisamos ter
\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi = \hbar\frac{E}{h}\Psi.
Cancelando \Psi (não nula no interior) obtemos a condição
\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar\frac{E}{h}.
Aqui é crucial a observação sobre o símbolo usado na exponencial do enunciado: se o enunciado quer que a função seja uma solução do lado direito escrito com i\hbar\partial_t, o fator temporal correto para um autovalor de energia E é \exp(-iEt/\hbar). Ou seja, deve surgir \dfrac{E}{\hbar} no expoente, não \dfrac{E}{h}. Assim:
  • Se o símbolo h do enunciado representa na verdade \hbar (isto é, o autor escreveu h mas quis dizer \hbar), então \hbar/h=1 e a igualdade acima vira
\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = E,
mostrando que \Psi é solução com energia E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}.
  • Se o enunciado realmente usa h (constante de Planck inteira) no expoente enquanto a equação usa \hbar, há um fator discrepante \hbar/h = 1/(2\pi) e a função dada NÃO satisfaz a equação de Schrödinger tal como escrita. Portanto, para consistência física e matemática, o expoente deve ser \exp\!\big(-iEt/\hbar\big).
Resumo deste passo: interpretando h do enunciado como \hbar (corrigindo o que é tipicamente um lapso de notação), obtemos imediatamente a relação entre E e k
E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}.

Passo 4

Agora uso k=\dfrac{2\pi}{a} para calcular E explicitamente. Substituindo:
E=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{2\pi}{a}\right)^2 = \frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{4\pi^2}{a^2} = \frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2} = \frac{2\pi^2\hbar^2}{m a^2}.
Essa é a energia associada à função espacial \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) com o fator temporal correto.
Agora lembrar a forma geral das energias do poço infinito de largura a (entre -a/2 e +a/2). Os autovalores de energia são
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m a^2},\qquad n=1,2,3,\dots
Comparando com a expressão obtida para E, verificamos que a função dada tem k=\dfrac{2\pi}{a} que corresponde a n=2. De fato para n=2:
E_2=\frac{2^2\pi^2\hbar^2}{2m a^2}=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
Comparar E_2 com E_1, onde
E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2},
logo
E_2 = 4\cdot E_1.
Isto mostra explicitamente que o primeiro estado excitado (o nível acima do fundamental) tem energia quatro vezes a energia do estado fundamental.

Passo 5

Normalização da autofunção espacial (ensinar como achar A). Queremos
\int_{-a/2}^{a/2} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
Como o fator temporal tem módulo 1, basta normalizar a parte espacial A\sin(kx):
|A|^2\int_{-a/2}^{a/2}\sin^2(kx)\,dx=1.
Usar a identidade \sin^2\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\theta)\big). Então
\int_{-a/2}^{a/2}\sin^2(kx)\,dx = \frac{1}{2}\int_{-a/2}^{a/2}\big(1-\cos(2kx)\big)\,dx = \frac{1}{2}\left[ x \right]_{-a/2}^{a/2} - \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2kx)}{2k}\right]_{-a/2}^{a/2}.
O termo com \sin(2kx) avaliado nos limites simétricos se anula porque \sin(2k(\pm a/2))=\sin(\pm 2k a/2)=\sin(\pm 2\pi)=0. Portanto
\int_{-a/2}^{a/2}\sin^2(kx)\,dx = \frac{1}{2}\cdot a = \frac{a}{2}.
Assim
|A|^2\cdot\frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2=\frac{2}{a}.
Escolhendo A real e positivo para simplicidade,
A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
Portanto a autofunção corretamente normalizada é
\Psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\exp\!\left(-i\frac{E t}{\hbar}\right),
com E dado no Passo 4.

Passo 6

Conclusões didáticas e físicas (resposta direta ao item (c)):
  • A função espacial \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) é um autovetor do Hamiltoniano do poço infinito centrado em 0 e corresponde ao número quântico n=2, isto é, ao primeiro estado excitado (o estado fundamental é n=1).
  • A energia associada a esse estado é
E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2}=4E_1,
onde \displaystyle E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
  • Observação importante sobre notação temporal: para que a função dependente do tempo satisfaça a equação de Schrödinger com o termo i\hbar\partial_t, o fator temporal deve ser \exp(-iEt/\hbar). Se no enunciado foi escrito \exp(-iEt/h) isso provavelmente é um deslize notacional: deve-se interpretar h como \hbar ou corrigir o expoente para \hbar. Caso contrário, há uma discrepância de fatores e a equação não se fecha.
Um comentário de colega-amigo: respira fundo — a função dada representa o primeiro estado excitado do poço, está normalizável e é solução (desde que a notação temporal seja a padrão com \hbar). Isso já é uma ótima notícia para a prova: reconhecer formas \sin(n\pi x/a) ou \cos(n\pi x/a) e usar E_n\propto n^2 resolve muitos exercícios rapidinho.

Resposta

(a) Sim — a função espacial \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) satisfaz as condições de contorno e, interpretando o h do enunciado como \hbar (ou corrigindo o fator temporal para \exp(-iEt/\hbar)), a função completa \Psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dentro da caixa.
(b) \displaystyle E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2} e \displaystyle E_2=4E_1 com \displaystyle E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
(c) Conclusão: a autofunção é um autestado do Hamiltoniano correspondente ao primeiro estado excitado ( n=2); está normalizável com A=\sqrt{2/a} e descreve um estado estacionário — lembrando que o fator temporal correto é \exp(-iEt/\hbar).

Exercícios relacionados