13- Considere uma partícula de m que pode se mover livremente (V(x)=0) sobre o eixo x entre os pontos x=-a / 2 e x=+a / 2, mas que está estritamente confinada a esta região, isto é, a partícula oscila entre as paredes em x= \pm a / 2 de uma caixa unidimensional. A autofunção de onda associada com esta partícula, dentro do domínio x= \pm a / 2, é dada pela expressão abaixo.
(a) Verifique se esta função (ou autofunção) de onda é uma solução da Schroedinger na região considerada; (b) determine também o valor da energia total E da partícula no primeiro estado excitado \left(E_{2}\right) e mostre que ela é E_{2}=4 E_{1}; (c) qual sua conclusão a respeito da autofunção usada para determinar a energia da partícula?
O enunciado dá uma partícula de massa m confinada rigidamente na região -a/2 \le x \le +a/2 com potencial V(x)=0 dentro da caixa e paredes infinitas nas bordas (fora da região a função de onda é zero). A autofunção fornecida, válida dentro da caixa, é
na região considerada (onde V(x)=0);
(b) determinar o valor da energia total E da partícula para o primeiro estado excitado E_2 e mostrar que E_2=4E_1;
(c) tirar a conclusão sobre a autofunção usada para determinar a energia da partícula.
Informações relevantes dadas:
A função espacial é \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) dentro de -a/2\le x\le a/2.
Há um fator temporal \exp\!\left[-i\left(\dfrac{E}{h}\right)t\right] (note que o enunciado usa h aqui enquanto a equação de Schrödinger usa \hbar; isso é importante e vou tratar abaixo).
V(x)=0 dentro da caixa; fora a partícula está confinada (função de onda nula nas paredes).
Passo 2
Verificação das condições de contorno (checar se a função espacial zera nas paredes). Isso é fundamental para um poço de potencial infinito: a função de onda deve ser zero em x=\pm a/2.
Portanto \Psi(\pm a/2,t)=0 (qualquer que seja A e o fator temporal). Conclusão: a função satisfaz as condições de contorno do poço infinito (número de nós apropriado).
Passo 3
Cálculo das derivadas necessárias para verificar a equação de Schrödinger. Primeiro escrevo um parâmetro conveniente:
k=\frac{2\pi}{a}.
A função é \Psi(x,t)=A\sin(kx)\,T(t) com T(t)=\exp\!\big[-i\big(\dfrac{E}{h}\big)t\big].
Cancelando \Psi (não nula no interior) obtemos a condição
\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar\frac{E}{h}.
Aqui é crucial a observação sobre o símbolo usado na exponencial do enunciado: se o enunciado quer que a função seja uma solução do lado direito escrito com i\hbar\partial_t, o fator temporal correto para um autovalor de energia E é \exp(-iEt/\hbar). Ou seja, deve surgir \dfrac{E}{\hbar} no expoente, não \dfrac{E}{h}. Assim:
Se o símbolo h do enunciado representa na verdade \hbar (isto é, o autor escreveu h mas quis dizer \hbar), então \hbar/h=1 e a igualdade acima vira
\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = E,
mostrando que \Psi é solução com energia E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}.
Se o enunciado realmente usa h (constante de Planck inteira) no expoente enquanto a equação usa \hbar, há um fator discrepante \hbar/h = 1/(2\pi) e a função dada NÃO satisfaz a equação de Schrödinger tal como escrita. Portanto, para consistência física e matemática, o expoente deve ser \exp\!\big(-iEt/\hbar\big).
Resumo deste passo: interpretando h do enunciado como \hbar (corrigindo o que é tipicamente um lapso de notação), obtemos imediatamente a relação entre E e k
E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}.
Passo 4
Agora uso k=\dfrac{2\pi}{a} para calcular E explicitamente. Substituindo:
Conclusões didáticas e físicas (resposta direta ao item (c)):
A função espacial \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) é um autovetor do Hamiltoniano do poço infinito centrado em 0 e corresponde ao número quântico n=2, isto é, ao primeiro estado excitado (o estado fundamental é n=1).
A energia associada a esse estado é
E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2}=4E_1,
onde \displaystyle E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
Observação importante sobre notação temporal: para que a função dependente do tempo satisfaça a equação de Schrödinger com o termo i\hbar\partial_t, o fator temporal deve ser \exp(-iEt/\hbar). Se no enunciado foi escrito \exp(-iEt/h) isso provavelmente é um deslize notacional: deve-se interpretar h como \hbar ou corrigir o expoente para \hbar. Caso contrário, há uma discrepância de fatores e a equação não se fecha.
Um comentário de colega-amigo: respira fundo — a função dada representa o primeiro estado excitado do poço, está normalizável e é solução (desde que a notação temporal seja a padrão com \hbar). Isso já é uma ótima notícia para a prova: reconhecer formas \sin(n\pi x/a) ou \cos(n\pi x/a) e usar E_n\propto n^2 resolve muitos exercícios rapidinho.
Resposta
(a) Sim — a função espacial \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right) satisfaz as condições de contorno e, interpretando o h do enunciado como \hbar (ou corrigindo o fator temporal para \exp(-iEt/\hbar)), a função completa \Psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dentro da caixa.
(b) \displaystyle E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2m a^2} e \displaystyle E_2=4E_1 com \displaystyle E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
(c) Conclusão: a autofunção é um autestado do Hamiltoniano correspondente ao primeiro estado excitado (n=2); está normalizável com A=\sqrt{2/a} e descreve um estado estacionário — lembrando que o fator temporal correto é \exp(-iEt/\hbar).