Algumas das afirmações abaixo são falsas (F) e outras são verdadeiras (V). Em todas elas, a, b, c, d são inteiros não nulos. Argumente convenientemente para verificar quais são (V) e quais são (F).
d \mid\left(a^{9}-b\right) e d \mid a então d \mid b.

Passo 1

O enunciado diz: “Se d\mid(a^9 - b) e d\mid a, então d\mid b?”
O conteúdo aqui é propriedade de divisibilidade:
  • Se d\mid x e d\mid y então d\mid(x - y).
  • Se d\mid a então d\mid a^n para qualquer inteiro n>0.

Passo 2

Da hipótese d\mid a existe um inteiro k tal que
a = d\,k.
Elevando ao nono poder:
a^9 = (d\,k)^9 = d^9\,k^9,
logo d\mid a^9.

Passo 3

Temos também d\mid(a^9 - b). Como d\mid a^9 e d\mid(a^9 - b), pela propriedade “se d\mid X e d\mid Y então d\mid(X - Y)” tomamos
X = a^9,\quad Y = a^9 - b.
Então
X - Y = a^9 - (a^9 - b) = b
é múltiplo de d. Portanto d\mid b.

Resposta

Verdadeiro (V)

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