Algumas das afirmações abaixo são falsas (F) e outras são verdadeiras (V). Em todas elas, a, b, c, d são inteiros não nulos. Argumente convenientemente para verificar quais são (V) e quais são (F).
d \mid a e d \mid b então d \mid\left(a^{2}+b^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação
“se \,d\mid a e \,d\mid b então \,d\mid(a^{2}+b^{2})
é verdadeira ou falsa, onde a,b,d são inteiros não nulos. Vamos usar a definição de divisibilidade e propriedades básicas de somas e produtos de inteiros.

Passo 2

Pela definição de divisibilidade, \,d\mid a significa que existe um inteiro k tal que
a = d\,k,
e \,d\mid b significa que existe um inteiro l tal que
b = d\,l.

Passo 3

Substituindo na expressão a^{2}+b^{2} obtemos
a^{2}+b^{2} = (d\,k)^{2} + (d\,l)^{2} = d^{2}\bigl(k^{2} + l^{2}\bigr) = d\bigl[d\,(k^{2}+l^{2})\bigr].
Como d\,(k^{2}+l^{2}) é inteiro, concluímos que d divide a^{2}+b^{2}.

Resposta

V

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