Algumas das afirmações abaixo são falsas (F) e outras são verdadeiras (V). Em todas elas, a, b, c, d são inteiros não nulos. Argumente convenientemente para verificar quais são (V) e quais são (F).
(a+b) \mid(c+d) então a \mid c e b \mid d.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se (a+b)\mid(c+d) então a\mid c e b\mid d”, onde a,b,c,d são inteiros não nulos. Vamos usar a definição de divisibilidade: dizer que x\mid y significa que existe um inteiro k tal que y = kx.

Passo 2

Para refutar uma afirmação do tipo “se P então Q”, basta encontrar um exemplo em que P seja verdadeiro e Q seja falso. Aqui P é “ (a+b)\mid(c+d)” e Q é “ a\mid c e b\mid d”.

Passo 3

Escolhemos
a = 2,\quad b = 3,\quad c = 1,\quad d = 4.
Então
a + b = 2 + 3 = 5, \quad c + d = 1 + 4 = 5,
logo (a+b)\mid(c+d) porque 5\mid5.

Passo 4

Verifiquemos Q:
2 não divide 1 (pois não existe inteiro k com 1=2k) e 3 não divide 4 (pois não existe inteiro m com 4=3m). Assim, apesar de (a+b)\mid(c+d), não temos nem a\mid c nem b\mid d.

Resposta

F

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