Algumas distribuições de carga, apesar de não serem formadas por cargas pontuais discretas, podem ser expressas em termos de funções delta de Dirac apropriadas. Com base nisso, e a simetria da distribuição de carga, exprima as seguintes distribuições contínuas de carga nos apropriados sistemas de coordenadas:
Um disco de raio
no plano xy com uma carga total
distribuída uniformemente
Um disco de raio
Passo 1
O enunciado pede para representar um disco de raio
no plano
com carga total
uniformemente distribuída, usando a função delta de Dirac. O conteúdo aqui é modelar uma distribuição de carga de superfície (o disco) como densidade de volume
em coordenadas apropriadas (neste caso, cilíndricas) multiplicada por
.
Passo 2
Primeiro calculamos a densidade de carga superficial
do disco. Como a carga total é
e a área do disco é
, temos
Passo 3
Para transformar essa superfície em uma densidade de volume, introduzimos
, pois todo o disco está concentrado no plano
. Assim, sem ainda restringir o raio, teríamos
Passo 4
Agora impomos que a carga só exista para
. Isso se faz multiplicando por uma função degrau de Heaviside
, que vale 1 quando
e 0 caso contrário. Logo
Passo 5
Substituindo
na expressão acima, obtemos a densidade de volume final em coordenadas cilíndricas:
Resposta
Em coordenadas cartesianas equivalentes, pode-se escrever