Algumas distribuições de carga, apesar de não serem formadas por cargas pontuais discretas, podem ser expressas em termos de funções delta de Dirac apropriadas. Com base nisso, e a simetria da distribuição de carga, exprima as seguintes distribuições contínuas de carga nos apropriados sistemas de coordenadas:
Um disco de raio R no plano xy com uma carga total Q distribuída uniformemente

Passo 1

O enunciado pede para representar um disco de raio R no plano xy com carga total Q uniformemente distribuída, usando a função delta de Dirac. O conteúdo aqui é modelar uma distribuição de carga de superfície (o disco) como densidade de volume rho em coordenadas apropriadas (neste caso, cilíndricas) multiplicada por de<a(z).

Passo 2

Primeiro calculamos a densidade de carga superficial sigma do disco. Como a carga total é Q e a área do disco é pi R^2, temos
sigma = Qpi R^2,

Passo 3

Para transformar essa superfície em uma densidade de volume, introduzimos de<a(z), pois todo o disco está concentrado no plano z=0. Assim, sem ainda restringir o raio, teríamos
rho(rho,phi,z) = sigma,de<a(z),

Passo 4

Agora impomos que a carga só exista para rho <= R. Isso se faz multiplicando por uma função degrau de Heaviside H(R-rho), que vale 1 quando rho<= R e 0 caso contrário. Logo
rho(rho,phi,z) = sigma,H(R-rho),de<a(z),

Passo 5

Substituindo sigma na expressão acima, obtemos a densidade de volume final em coordenadas cilíndricas:
rho(rho,phi,z) = Qpi R^2;H(R-rho);de<a(z),

Resposta

rho(rho,phi,z) = Qpi R^2;H(R-rho);de<a(z)
Em coordenadas cartesianas equivalentes, pode-se escrever
rho(x,y,z) = Qpi R^2;Hl(R-raizx^2+y^2r);de<a(z)

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