Considere uma carga puntual
situada no ponto (
). Para esta carga, escreva a densidade de carga em termos da função delta de Dirac nos seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas cilíndricas
Sugestão: Escreva primeiro a posição da carga nos respectivos sistemas de coordenadas e use o fato de que
. Se esta ajuda não for ainda o suficiente, veja a solução na página 224 do livro do Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo (Vol. I).
Coordenadas cilíndricas
Passo 1
O enunciado pede a densidade de carga de uma carga pontual de valor
localizada em
, mas escrita em coordenadas cilíndricas
. O conteúdo é manipulação da função delta de Dirac em coordenadas curvilíneas; vamos usar a expressão da densidade pontual em cartesianas e converter para cilíndricas, garantindo que
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
A carga está em
,
(e
genérico). Em coordenadas cartesianas a densidade é
Passo 3
O elemento de volume cilíndrico é
. Para converter
usamos que, ao integrar qualquer função
,
e em cilíndricas isso equivale a
Daí surge a identidade prática
Passo 4
Substituindo em
e usando a expressão acima, obtemos
Verificamos a normalização: