Considere uma carga puntual q situada no ponto ( 0,0, a ). Para esta carga, escreva a densidade de carga em termos da função delta de Dirac nos seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas cilíndricas rho(r, varphi, z)
Sugestão: Escreva primeiro a posição da carga nos respectivos sistemas de coordenadas e use o fato de que integral-infty^infty rho(r) d^3 r=q. Se esta ajuda não for ainda o suficiente, veja a solução na página 224 do livro do Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo (Vol. I).

Passo 1

O enunciado pede a densidade de carga de uma carga pontual de valor q localizada em (x,y,z)=(0,0,a), mas escrita em coordenadas cilíndricas (r,varphi,z). O conteúdo é manipulação da função delta de Dirac em coordenadas curvilíneas; vamos usar a expressão da densidade pontual em cartesianas e converter para cilíndricas, garantindo que
integral-infty^infty!!integral0^2pi!!integral0^inftyrho(r,varphi,z),r,dr,dvarphi,dz = q

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
r = raizx^2+y^2, varphi=arctan!l(y/xr), z=z
A carga está em r=0, z=a (e varphi genérico). Em coordenadas cartesianas a densidade é
rho(x,y,z)=q,de<a(x),de<a(y),de<a(z-a)

Passo 3

O elemento de volume cilíndrico é d^3r = r,dr,dvarphi,dz. Para converter de<a(x),de<a(y) usamos que, ao integrar qualquer função f(x,y),
integral dupla f(x,y),de<a(x),de<a(y),dx,dy = f(0,0),
e em cilíndricas isso equivale a
integral dupla f(r,varphi),de<a(r)2pi,r;r,dr,dvarphi =12piintegral0^2pif(0,varphi),dvarphi = f(0,,qualquer varphi)
Daí surge a identidade prática
de<a(x),de<a(y) = de<a(r)2pi,r

Passo 4

Substituindo em rho(x,y,z)=q,de<a(x),de<a(y),de<a(z-a) e usando a expressão acima, obtemos
rho(r,varphi,z) = q,de<a(r)2pi,r;de<a(z-a)
Verificamos a normalização:
integral0^infty!!integral0^2pi!!integral-infty^infty q2pi,r,de<a(r),de<a(z-a);r,dr,dvarphi,dz =q2piintegralde<a(r),dr;integral0^2pidvarphi;integralde<a(z-a),dz =q

Resposta

rho(r,varphi,z) =q2pi,r,de<a(r),de<a(z-a)

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