Considere uma carga puntual q situada no ponto ( 0,0, a ). Para esta carga, escreva a densidade de carga em termos da função delta de Dirac nos seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas esférica rho(r, theta, varphi)
Sugestão: Escreva primeiro a posição da carga nos respectivos sistemas de coordenadas e use o fato de que integral-infty^infty rho(r) d^3 r=q. Se esta ajuda não for ainda o suficiente, veja a solução na página 224 do livro do Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo (Vol. I).

Passo 1

Temos uma carga pontual q em (0,0,a) cujo volume total satisfaz
integral rho( r),d^3 r ;=;q
Em coordenadas esféricas l(r,theta,varphir) vale
x = rsinthetacosvarphi, y = rsinthetasinvarphi, z = rcostheta,
e o elemento de volume é
d^3 r = r^2sintheta,dr,dtheta,dvarphi

Passo 2

Na forma cartesiana a densidade é
rho(x,y,z) = q,de<a(x),de<a(y),de<a(z - a)
Queremos reescrever isto em (r,theta,varphi). Em geral vale
de<a^3( r - r0) =1r0^2sintheta0, de<a(r - r0),de<a(theta-theta0),de<a(varphi-varphi0)
Aqui r0=a, theta0=0, varphi0 é irrelevante (qualquer varphi dá o eixo z), e sintheta0=0, o que dá indeterminação.
Para contornar isso usamos
de<a(theta);=;de<a(costheta-1)l|ddthetacosthetar|theta=0 =de<a(costheta-1)sintheta|thetato0 ;longrightarrow;de<a(costheta-1)
Além disso, como no polo varphi é livre, condensamos a dependência em varphi numa fator 1/(2pi) ao normalizar sobre [0,2pi).

Passo 3

Reescrevendo a densidade diretamente em esféricas obtemos
rho(r,theta,varphi) =;q,de<a^3( r - r0) =;q;de<a(r-a),de<a(costheta-1)2pi,r^2
Para ver que integra q, calcule
integral0^inftydr!integral0^pidtheta!integral0^2pidvarphi; r^2sintheta;q,de<a(r-a),de<a(costheta-1)2pi,r^2 =q,1cdot1cdot2pi2pi =q

Resposta

boxed rho(r,theta,varphi) =q2pi,r^2, de<al(r - ar), de<al(costheta - 1r)

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