Considere uma carga puntual situada no ponto ( ). Para esta carga, escreva a densidade de carga em termos da função delta de Dirac nos seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas esférica
Sugestão: Escreva primeiro a posição da carga nos respectivos sistemas de coordenadas e use o fato de que . Se esta ajuda não for ainda o suficiente, veja a solução na página 224 do livro do Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo (Vol. I).
Passo 1
Temos uma carga pontual em cujo volume total satisfaz
Em coordenadas esféricas vale
e o elemento de volume é
Passo 2
Na forma cartesiana a densidade é
Queremos reescrever isto em . Em geral vale
Aqui , , é irrelevante (qualquer dá o eixo ), e , o que dá indeterminação.
Para contornar isso usamos
Além disso, como no polo varphi é livre, condensamos a dependência em varphi numa fator 1/(2pi) ao normalizar sobre [0,2pi).
Passo 3
Reescrevendo a densidade diretamente em esféricas obtemos
rho(r,theta,varphi) =;q,de<a^3( r - r0) =;q;de<a(r-a),de<a(costheta-1)2pi,r^2