Algumas distribuições de carga, apesar de não serem formadas por cargas pontuais discretas, podem ser expressas em termos de funções delta de Dirac apropriadas. Com base nisso, e a simetria da distribuição de carga, exprima as seguintes distribuições contínuas de carga nos apropriados sistemas de coordenadas:
Um fio de tamanho L centrada na origem ao longo do eixo z com uma carga total Q distribuída uniformemente.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a densidade volumétrica de carga rho( r) de um fio de comprimento L, centrado na origem e alinhado ao eixo z, que carrega carga total Q distribuída uniformemente. Vamos usar a delta de Dirac para “concentrar” a carga no eixo z e funções de Heaviside para limitar o fio entre z=-L/2 e z=+L/2. A densidade linear é
lambda = QL

Passo 2

Em coordenadas cartesianas (x,y,z) o fio está em x=0 e y=0. Logo
rho(x,y,z) = lambda,de<a(x),de<a(y); l[Thetal(z + tfracL2r)-Thetal(z - tfracL2r)r]

Passo 3

Vejamos rapidamente a normalização:
integral rho(x,y,z),dV = lambda integral-L/2^L/2!dz integral-infty^infty!de<a(x),dx integral-infty^infty!de<a(y),dy = lambda,L = Q,
como desejado.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas (rho,phi,z) reconhecemos que
de<a(x),de<a(y)=de<a(rho)/(2pirho). Assim
rho(rho,phi,z) = lambda;de<a(rho)2pi,rho; l[Thetal(z + tfracL2r)-Thetal(z - tfracL2r)r]

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
rho(x,y,z) = QL,de<a(x),de<a(y), l[Theta(z + tfracL2)-Theta(z - tfracL2)r]
Em coordenadas cilíndricas:
rho(rho,phi,z) = QL;de<a(rho)2pi,rho, l[Theta(z + tfracL2)-Theta(z - tfracL2)r]

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