Um atleta está participando de uma competição de lançamento de dardo. Ele lança o dardo com uma velocidade inicial de 16,3 m / s a um ângulo de 27,4^circ em relação à horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade como g = 9,81 m / s^2. Qual o alcance do dardo ao atingir o solo sabendo que o atleta lança o dardo de uma altura inicial de 1,50 m.

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento de projétil (dardo) com velocidade inicial ,v0=16,3 m/s e ângulo theta=27,4^circ acima da horizontal, partindo de uma altura inicial y0=1,50 m. Vamos usar a decomposição da velocidade em componentes horizontal e vertical, a equação horária do movimento vertical para determinar o tempo de voo até y=0, e então calcular o alcance horizontal.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em componentes
v0x = v0 costheta, v0y = v0 sintheta

Passo 3

Escrevemos a equação do movimento vertical, com o referencial de y=0 no solo e aceleração -g:
y(t) = y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2
Para encontrar o instante em que o dardo atinge o solo, impomos y(t)=0, gerando a equação quadrática
-tfrac12,g,t^2 + v0y,t + y0 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara e tomando a raiz positiva,
t = v0y + raizv0y^2 + 2,g,y0g

Passo 4

Calculamos numericamente as componentes da velocidade:
v0x = 16,3cos(27,4^circ)approx 14,47 m/s, v0y = 16,3sin(27,4^circ)approx 7,51 m/s
Em seguida, o tempo de voo
t = 7,51 + raiz(7,51)^2 + 2cdot9,81cdot1,509,81 approx 7,51 + 9,279,81 approx 1,71 s

Passo 5

O alcance horizontal é dado por
R = v0x,t approx 14,47 m/stimes1,71 s approx 24,7 m

Resposta

O alcance do dardo é aproximadamente 24,7 m.

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