Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é válida em toda interpretação (isto é, uma tautologia de predicados) ou, caso não seja, encontrar uma interpretação que a torne falsa. Para ver se a fórmula é válida, lembramos que provar validade equivale a mostrar que em toda interpretação ela vale “verdadeiro”. Se conseguirmos achar uma interpretação em que o valor da parte antecedente seja verdadeiro e o da parte consequente seja falso, teremos um contraexemplo e a fórmula não será válida.
Passo 2
Reescrevemos
como
. Então a fórmula fica
Para que uma implicação
seja falsa basta ter
verdadeiro e
falso.
Passo 3
Escolhemos uma interpretação com domínio
e definimos as avaliações de
e
assim:
– ,
– ,
.
–
–
Passo 4
Verificamos a verdade de cada parte:
-
é verdadeiro porque em temos . Logo existe um elemento que satisfaz . -
é verdadeiro pois em temos . -
é falso porque para ambos e , .
Passo 5
Como
é verdadeiro e
é falso, a implicação
é falsa. Assim, o antecedente da fórmula geral vale
e o consequente vale
, tornando toda a fórmula falsa nessa interpretação.
Resposta
A fórmula não é válida. Contraexemplo: domine
, com
e
, faz a fórmula valer falsa.