Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a fórmula
é válida (tautologia) em lógica de predicados de primeira ordem, isto é, se em toda interpretação seu valor de verdade é verdadeiro.
Passo 2
Em lógica de predicados assume-se que o domínio de discurso
é não vazio. A fórmula
é verdadeira em uma interpretação se, para cada
, temos
verdadeiro. A fórmula
é verdadeira se existe pelo menos um
tal que
seja verdadeiro. A implicação
só é falsa quando
é verdadeira e
é falsa.
Passo 3
Escolhemos uma interpretação genérica
com domínio
. Suponha que
, ou seja, todo
satisfaz
. Como
não é vazio, existe algum
, e daí
. Logo
. Dessa forma, sempre que a parte antecedente
for verdadeira, a parte consequente
também será.
Passo 4
Como nossa interpretação
foi completamente arbitrária, concluímos que em toda interpretação (com domínio não vazio) a implicação é verdadeira. Portanto a fórmula é válida em lógica de predicados de primeira ordem.
Resposta
A fórmula
é válida (tautologia).