Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
p(x) (forall x) p(x)

Passo 1

A fórmula que temos é p(x)to(forall x)p(x). O conteúdo aqui é validade semântica em lógica de predicados: precisamos decidir se essa fórmula é verdadeira em todas as interpretações (tautologia) ou não.

Passo 2

Uma fórmula em lógica de predicados é válida se, sob toda interpretação (domínio e atribuição de predicados) e toda atribuição de variáveis livres, ela avalia como verdadeira. Para mostrar que não é válida, basta achar uma interpretação e uma atribuição que a tornem falsa.

Passo 3

Observando a forma p(x)to(forall x)p(x), percebemos que o fato de p valer para um certo valor de x não garante que ela valha para todos os elementos do domínio. Então é plausível existir um modelo onde o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.

Passo 4

Vamos definir um contra\xadexemplo. Seja o domínio D = a,b. Interpretemos p de modo que p(a) seja verdadeiro e p(b) seja falso. Tomemos a atribuição s(x)=a. Então temos: o antecedente p(x) vale p(a)=V, mas o consequente (forall x)p(x) é falso porque p(b)=F.

Passo 5

Numa implicação, se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, a implicação inteira é falsa. Logo, encontramos uma interpretação e uma atribuição que tornam p(x)to(forall x)p(x) falsa, mostrando que a fórmula não é válida.

Resposta

A fórmula não é válida. Contra­exemplo: em D=a,b, com p(a)=V, p(b)=F e x=a, a implicação p(x)to(forall x)p(x) fica falsa.

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