Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
A fórmula que temos é
. O conteúdo aqui é validade semântica em lógica de predicados: precisamos decidir se essa fórmula é verdadeira em todas as interpretações (tautologia) ou não.
Passo 2
Uma fórmula em lógica de predicados é válida se, sob toda interpretação (domínio e atribuição de predicados) e toda atribuição de variáveis livres, ela avalia como verdadeira. Para mostrar que não é válida, basta achar uma interpretação e uma atribuição que a tornem falsa.
Passo 3
Observando a forma
, percebemos que o fato de
valer para um certo valor de
não garante que ela valha para todos os elementos do domínio. Então é plausível existir um modelo onde o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
Passo 4
Vamos definir um contra\xadexemplo. Seja o domínio
. Interpretemos
de modo que
seja verdadeiro e
seja falso. Tomemos a atribuição
. Então temos: o antecedente
vale
, mas o consequente
é falso porque
.
Passo 5
Numa implicação, se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, a implicação inteira é falsa. Logo, encontramos uma interpretação e uma atribuição que tornam
falsa, mostrando que a fórmula não é válida.
Resposta
A fórmula não é válida. Contraexemplo: em
, com
,
e
, a implicação
fica falsa.