Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
((forall x) p(x) vee(forall x) r(x)) (forall x)(p(x) vee r(x))

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos analisar a fórmula
(forall x,p(x)veeforall x,r(x))toforall x,(p(x)vee r(x))
da Lógica de Predicados de 1ª ordem e decidir se ela é válida (tautologia) ou encontrar uma interpretação que a torne falsa. Para isso vamos usar raciocínio semântico, isto é, pensar em interpretações arbitrárias e nas condições de verdade dos quantificadores e da disjunção.

Passo 2

Para mostrar que a fórmula é válida, seja I uma interpretação arbitrária sobre um domínio não vazio. Suponha que
Imodelsforall x,p(x)veeforall x,r(x)
Pela semântica da disjunção, ou
Imodelsforall x,p(x) ou Imodelsforall x,r(x).
Em cada caso, para todo elemento a do domínio temos ou p(a) verdadeira ou r(a) verdadeira. Logo, para cada a,
Imodels p(a)vee r(a)
Isso mostra
Imodelsforall x,(p(x)vee r(x))
Como a interpretação I foi escolhida arbitrariamente, toda interpretação que satisfaz o antecedente satisfaz também o consequente. Portanto a implicação é verdadeira em qualquer interpretação, ou seja, a fórmula é válida.

Resposta

A fórmula é válida (tautologia).

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