Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos analisar a fórmula
da Lógica de Predicados de 1ª ordem e decidir se ela é válida (tautologia) ou encontrar uma interpretação que a torne falsa. Para isso vamos usar raciocínio semântico, isto é, pensar em interpretações arbitrárias e nas condições de verdade dos quantificadores e da disjunção.
Passo 2
Para mostrar que a fórmula é válida, seja
uma interpretação arbitrária sobre um domínio não vazio. Suponha que
Pela semântica da disjunção, ou
ou
.
Em cada caso, para todo elemento do domínio temos ou
verdadeira ou
verdadeira. Logo, para cada
,
Em cada caso, para todo elemento
Isso mostra
Como a interpretação
foi escolhida arbitrariamente, toda interpretação que satisfaz o antecedente satisfaz também o consequente. Portanto a implicação é verdadeira em qualquer interpretação, ou seja, a fórmula é válida.
Resposta
A fórmula é válida (tautologia).