Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula
(exists x)(p(x) rightarrow r(x)) rightarrowl((exists x)p(x) rightarrow (exists x)r(x)r)
é válida (sempre verdadeira) em toda interpretação, ou então apresentar uma interpretação que a torne falsa. Vamos usar a semântica de quantificadores e bicondicional para isso.

Passo 2

Vamos construir um contra-exemplo. Tome o domínio D=1,2. Defina a interpretação de p e r por
p^I = 1,
r^I = 2
Então:
  • exists xl(p(x) rightarrow r(x)r) é falso, pois para x=1 temos p(1)=T, r(1)=F e para x=2 temos p(2)=F, r(2)=T, logo p(x)rightarrow r(x) é sempre falso.
  • exists x,p(x) é verdadeiro (basta x=1) e exists x,r(x) também é verdadeiro (basta x=2), logo (exists x)p(x) rightarrow (exists x)r(x)
é verdadeiros↔verdadeiros, isto é, verdadeiro.
Portanto o lado esquerdo da bicondicional fica falso e o lado direito verdadeiro, tornando toda a fórmula falsa nessa interpretação, o que mostra que ela não é válida.

Resposta

A fórmula não é válida. Por exemplo, na interpretação em que o domínio é 1,2, com p^I=1 e r^I=2, o lado esquerdo é falso e o lado direito é verdadeiro, logo a bicondicional é falsa.

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