Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é válida (sempre verdadeira) em toda interpretação, ou então apresentar uma interpretação que a torne falsa. Vamos usar a semântica de quantificadores e bicondicional para isso.
Passo 2
Vamos construir um contra-exemplo. Tome o domínio
. Defina a interpretação de
e
por
Então:
-
é falso, pois para temos e para temos , logo é sempre falso. -
é verdadeiro (basta ) e também é verdadeiro (basta ), logo
é verdadeiros↔verdadeiros, isto é, verdadeiro.
Portanto o lado esquerdo da bicondicional fica falso e o lado direito verdadeiro, tornando toda a fórmula falsa nessa interpretação, o que mostra que ela não é válida.
Portanto o lado esquerdo da bicondicional fica falso e o lado direito verdadeiro, tornando toda a fórmula falsa nessa interpretação, o que mostra que ela não é válida.
Resposta
A fórmula não é válida. Por exemplo, na interpretação em que o domínio é
, com
e
, o lado esquerdo é falso e o lado direito é verdadeiro, logo a bicondicional é falsa.