Demonstre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que atribuir qualquer valor de d à variável x não altera o valor da interpretação de (exists y)(forall x)p(x,y). O conteúdo é semântica de lógica de predicados com quantificadores existencial e universal, e vamos precisar usar as definições semânticas de I[(exists y)varphi] e I[(forall x)psi].

Passo 2

Pela definição semântica temos que, para qualquer atribuição sigma e qualquer din D,
Isigma[x d]l[(exists y)(forall x)p(x,y)r]=supein DIsigma[x d,,y e]l[(forall x)p(x,y)r]

Passo 3

Em seguida, ao expandir o quantificador universal interno, para cada ein D vale
Isigma[x d,,y e]l[(forall x)p(x,y)r]=inffin DIsigma[x f,,y e]l[p(x,y)r]

Passo 4

Observe que esse valor inffin DIsigma[x f,,y e][p(x,y)] não depende de d, pois o quantificador forall x já reatribui x internamente. Logo o supein D também não depende de d.

Passo 5

Concluímos que para todo din D
Isigma[x d]l[(exists y)(forall x)p(x,y)r]=supein Dinffin DIsigma[x f,,y e]l[p(x,y)r]=Isigmal[(exists y)(forall x)p(x,y)r]

Resposta

Portanto, mostramos que
forall din D,;Isigma[x d]l[(exists y)(forall x)p(x,y)r]=Isigmal[(exists y)(forall x)p(x,y)r],
o que era o que se queria demonstrar.

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