Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
p(x) (exists x) p(x)

Passo 1

Resumo do enunciado e intuito: queremos verificar se a fórmula p(x) exists x,p(x) é válida em lógica de predicados, ou seja, se ela é verdadeira em toda interpretação e atribuição da variável livre.

Passo 2

Definição de validade: uma fórmula phi(x) com variável livre x é válida se, para toda interpretação I e qualquer atribuição v de x, tivermos I,v models phi(x). Aqui phi(x) é a nossa p(x) exists x,p(x).

Passo 3

Análise semântica da implicação: seja I e v arbitrários. Avaliamos a implicação p(x) exists x,p(x). Se I,v notmodels p(x) então a implicação é verdadeira por antecedente falso. Se I,v models p(x) então o mesmo elemento v(x) satisfaz p, logo I,v models exists x,p(x). Em ambos os casos a implicação é verdadeira.

Passo 4

Conclusão: como a fórmula é satisfeita para toda interpretação I e toda atribuição v, ela é válida.

Resposta

A fórmula p(x) exists x,p(x) é válida (tautologia).

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