Demonstre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao avaliarmos a fórmula universal (forall x)p(x,y) numa atribuição em que atualizamos o valor de x, o resultado é o mesmo de avaliá-la na atribuição original. O conteúdo envolvido é a semântica do quantificador universal e a noção de atribuição (função que dá valores do domínio D às variáveis).

Passo 2

Seja I uma interpretação fixa e seja g a atribuição original. Tomemos um din D arbitrário e definamos g' = g[x d]. Pela definição semântica do quantificador universäl temos:
Se I[g']( (forall x)p(x,y) ) = 1, isso equivale a dizer que, para todo d'in D,
Il[g'[x d']r]l(p(x,y)r)=1
Mas reparo que atualizar duas vezes na mesma variável equivale à última atualização, isto é,
g'[x d'] = (g[x d])[x d'] = g[x d'],
porque a atribuição final em x é d', ignorando a atualização anterior.

Passo 3

Portanto a condição “para todo d'in D, I[g[x d']](p(x,y))=1” é exatamente a cláusula que define I[g]( (forall x)p(x,y) )=1. Como a escolha de d foi arbitrária, segue que para todo din D
Il[g[x d]r]l((forall x)p(x,y)r)=I[g]l((forall x)p(x,y)r)
Isto demonstra a igualdade requerida.

Resposta

Fica demonstrado que .

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