Suponha que você decida soltar um melão a partir do repouso da primeira plataforma de observação da torre Eiffel. A altura inicial
da qual o melão é solto está a
acima da cabeça de seu amigo francês Pierre, que está parado no solo bem abaixo de você. No mesmo instante em que você solta o melão Pierre atira uma flecha para cima com velocidade inicial de
. (É evidente que Pierre libera toda área ao redor e sai do caminho logo depois de atirar a flecha).
(a) (RA2) Quanto tempo a flecha levará para atingir o melão após ele ser solto?
(b) (RA2) Em que altura acima da cabeça de Pierre ocorre essa colisão?
(a) (RA2) Quanto tempo a flecha levará para atingir o melão após ele ser solto?
(b) (RA2) Em que altura acima da cabeça de Pierre ocorre essa colisão?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Informações fornecidas:
- A altura inicial do melão acima da cabeça de Pierre é
. - O melão é solto do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é
. - No mesmo instante em que o melão é solto, Pierre atira uma flecha para cima com velocidade inicial
. - Ambos os objetos (melão e flecha) estão sujeitos à mesma aceleração da gravidade que tomaremos como
dirigida para baixo. - A posição
será considerada na cabeça de Pierre (isto facilita dizer “altura acima da cabeça de Pierre”).
- A altura inicial do melão acima da cabeça de Pierre é
-
O que o enunciado pergunta:
(a) Quanto tempo a flecha levará para atingir o melão após ele ser solto?
(b) Em que altura acima da cabeça de Pierre ocorre essa colisão?
Passo 2
Escolha de sinal e equações do movimento (explicação didática).
- Vou tomar o eixo vertical positivo para cima e origem em
(cabeça de Pierre). - A equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado para a posição vertical
de um objeto com velocidade inicial e posição inicial é:
onde:
-
é a altura (em metros) no instante , -
é a altura inicial (em metros), -
é a velocidade inicial (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ), e -
é o tempo desde o lançamento (em segundos).
Explicação curta: o termo
representa o deslocamento devido à velocidade inicial; o termo
é a correção por causa da aceleração para baixo.
Passo 3
Escrever as funções posição para melão e flecha usando os dados:
- Para o melão: posição inicial
e . Assim
- Para a flecha: posição inicial
e . Assim
Explicação didática: repare que ambos têm o mesmo termo
porque a gravidade afeta os dois igualmente.
Passo 4
Condição de colisão e simplificação (ideia de movimento relativo).
- A colisão ocorre quando as alturas são iguais:
- Substituindo as expressões:
- Observação importante e muito útil na prova: os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam! Isso acontece porque ambos sofrem a mesma aceleração (mesmo ). Depois do cancelamento sobra uma equação muito simples:
Explicação física: como a aceleração é igual para os dois, a diferença de posições evolui como se fosse apenas uma velocidade relativa constante; portanto o tempo de encontro depende só da separação inicial e da velocidade inicial relativa.
Passo 5
Calcular o tempo da colisão.
- Isolando
na equação :
- Fazendo a divisão:
- Arredondando com base nos dados (três algarismos significativos nos dados), fica
Dica prática para a prova: sempre verifique se termos semelhantes em ambos os lados cancelam — isso muitas vezes simplifica muito a conta.
Passo 6
Calcular a altura da colisão (posição comum no instante
).
- Usa-se a expressão da flecha (ou do melão; dão o mesmo resultado). Vou usar a forma que mostra claramente a cancelamento anterior:
- Podemos também usar a relação
(vinda do cancelamento), então
- Substituindo
(forma racional exata) e :
- Calculando numericamente (já mostrado no passo anterior
):
- Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação rápida: a colisão acontece aproximadamente no meio do caminho (um pouco acima), porque a flecha sobe enquanto a fruta cai; como a flecha é suficientemente rápida, encontra o melão antes dele chegar ao solo.