Suponha que você decida soltar um melão a partir do repouso da primeira plataforma de observação da torre Eiffel. A altura inicial h da qual o melão é solto está a 58,3 \mathrm{~m} acima da cabeça de seu amigo francês Pierre, que está parado no solo bem abaixo de você. No mesmo instante em que você solta o melão Pierre atira uma flecha para cima com velocidade inicial de 25,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (É evidente que Pierre libera toda área ao redor e sai do caminho logo depois de atirar a flecha).
(a) (RA2) Quanto tempo a flecha levará para atingir o melão após ele ser solto?
(b) (RA2) Em que altura acima da cabeça de Pierre ocorre essa colisão?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações fornecidas:
    • A altura inicial do melão acima da cabeça de Pierre é h=58,3\\ \mathrm{m}.
    • O melão é solto do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é v_{0,\text{melão}}=0ã.
    • No mesmo instante em que o melão é solto, Pierre atira uma flecha para cima com velocidade inicial v_{0,\text{flecha}}=25,1\\ \mathrm{m/s}.
    • Ambos os objetos (melão e flecha) estão sujeitos à mesma aceleração da gravidade que tomaremos como g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} dirigida para baixo.
    • A posição y=0 será considerada na cabeça de Pierre (isto facilita dizer “altura acima da cabeça de Pierre”).
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) Quanto tempo a flecha levará para atingir o melão após ele ser solto?
    (b) Em que altura acima da cabeça de Pierre ocorre essa colisão?

Passo 2

Escolha de sinal e equações do movimento (explicação didática).
  • Vou tomar o eixo vertical positivo para cima e origem em y=0 (cabeça de Pierre).
  • A equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado para a posição vertical y(t) de um objeto com velocidade inicial v_0 e posição inicial y_0 é:
y(t)=y_0+v_0\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2,
onde:
  • y(t) é a altura (em metros) no instante t,
  • y_0 é a altura inicial (em metros),
  • v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}), e
  • t é o tempo desde o lançamento (em segundos).
Explicação curta: o termo v_0 t representa o deslocamento devido à velocidade inicial; o termo -\tfrac{1}{2}g t^2 é a correção por causa da aceleração para baixo.

Passo 3

Escrever as funções posição para melão e flecha usando os dados:
  • Para o melão: posição inicial y_{0,\text{melão}}=h=58,3\\ \mathrm{m}ã e v_{0,\text{melão}}=0ã. Assim
y_{\text{melão}}(t)=58,3-\tfrac{1}{2}g\,t^2.ã
  • Para a flecha: posição inicial y_{0,\text{flecha}}=0 e v_{0,\text{flecha}}=25,1\\ \mathrm{m/s}. Assim
y_{\text{flecha}}(t)=25,1\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2.
Explicação didática: repare que ambos têm o mesmo termo -\tfrac{1}{2}g t^2 porque a gravidade afeta os dois igualmente.

Passo 4

Condição de colisão e simplificação (ideia de movimento relativo).
  • A colisão ocorre quando as alturas são iguais:
y_{\text{melão}}(t)=y_{\text{flecha}}(t).ã
  • Substituindo as expressões:
58,3-\tfrac{1}{2}g\,t^2 = 25,1\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2.
  • Observação importante e muito útil na prova: os termos -\tfrac{1}{2}g\,t^2 aparecem dos dois lados e se cancelam! Isso acontece porque ambos sofrem a mesma aceleração (mesmo g). Depois do cancelamento sobra uma equação muito simples:
58,3 = 25,1\,t.
Explicação física: como a aceleração é igual para os dois, a diferença de posições evolui como se fosse apenas uma velocidade relativa constante; portanto o tempo de encontro depende só da separação inicial e da velocidade inicial relativa.

Passo 5

Calcular o tempo da colisão.
  • Isolando t na equação 58,3 = 25,1\,t:
t=\frac{58,3}{25,1}.
  • Fazendo a divisão:
t\approx 2,322709\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando com base nos dados (três algarismos significativos nos dados), fica
t\approx 2,32\\ \mathrm{s}.
Dica prática para a prova: sempre verifique se termos semelhantes em ambos os lados cancelam — isso muitas vezes simplifica muito a conta.

Passo 6

Calcular a altura da colisão (posição comum no instante t).
  • Usa-se a expressão da flecha (ou do melão; dão o mesmo resultado). Vou usar a forma que mostra claramente a cancelamento anterior:
y_{\text{colisão}} = 25,1\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2.ã
  • Podemos também usar a relação 25,1\,t=58,3 (vinda do cancelamento), então
y_{\text{colisão}} = 58,3-\tfrac{1}{2}g\,t^2.ã
  • Substituindo t=\dfrac{58,3}{25,1}=\dfrac{583}{251} (forma racional exata) e g=9,80:
y_{\text{colisão}} = 58,3 - 4,9\left(\frac{583}{251}\right)^2.ã
  • Calculando numericamente (já mostrado no passo anterior t\approx 2,322709\\ \mathrm{s}):
y_{\text{colisão}}\approx 58,3 - 4,9\,(2,322709)^2 \approx 31,8646\\ \mathrm{m}.ã
  • Arredondando com três algarismos significativos:
y_{\text{colisão}}\approx 31,9\\ \mathrm{m}.ã
Interpretação rápida: a colisão acontece aproximadamente no meio do caminho (um pouco acima), porque a flecha sobe enquanto a fruta cai; como a flecha é suficientemente rápida, encontra o melão antes dele chegar ao solo.

Resposta

t \approx 2,32\\ \mathrm{s}
y \approx 31,9\\ \mathrm{m}

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