Algumas das minas mais profundas do mundo estão na África do Sul e estão a cerca de
de profundidade. Considere que a Terra é uma esfera uniforme de raio 6370 km .
A que profundidade o poço da mina deve estar para que a aceleração gravitacional, no fundo, seja reduzida por um fator de 2 em relação a seu valor na superfície da Terra?
A que profundidade o poço da mina deve estar para que a aceleração gravitacional, no fundo, seja reduzida por um fator de 2 em relação a seu valor na superfície da Terra?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mina na África do Sul com 3,5 km de profundidade, mas isso é só para contexto. A pergunta principal é: Qual a profundidade que a mina deve ter para que a aceleração da gravidade no fundo seja reduzida pela metade em relação ao valor na superfície da Terra?
Vamos precisar usar conceitos de gravitação e esfera uniforme, e aplicar algumas fórmulas da física para resolver.
Passo 2
Vamos lembrar que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é representada por $ g_0 $. Queremos encontrar uma profundidade onde a aceleração da gravidade $ g $ seja metade disso, ou seja, $ g = \frac{g_0}{2} $.
Passo 3
Para resolver isso, precisamos usar a fórmula da gravitação dentro de uma esfera uniforme. A aceleração da gravidade a uma distância $ r $ do centro da Terra é dada por:
Onde:
- $ g® $ é a gravidade a uma distância $ r $ do centro.
- $ g_0 $ é a gravidade na superfície.
- $ R $ é o raio da Terra.
Passo 4
Queremos que $ g® = \frac{g_0}{2} $. Então, substituímos na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por $ g_0 $:
Passo 6
Para encontrar $ r $, multiplicamos ambos os lados por $ R $:
Passo 7
Sabemos que o raio da Terra $ R $ é de aproximadamente 6370 km. Então:
Passo 8
A profundidade $ h $ da mina é a diferença entre o raio da Terra e a distância $ r $:
Resposta
A profundidade necessária para que a aceleração da gravidade no fundo da mina seja reduzida pela metade é 3185 km.