UNESP - Campus de IIha Solteira - Eletromagnetismo II - Exercício
Obs. Entregar o exercício detalhadamente resolvido na aula do dia 09/04/2025
Expresse o valor de B em componentes cartesianas em P(0,0,2,0) no campo de:
Lâminas de corrente de K=2,7 x (A/m) em y=0,1, K=-1,4 x(A / m) em y=0,15 e K=-1,3 x(A / m) em y=0,25.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo magnético B nas componentes cartesianas no ponto P(0, 0, 2, 0), gerado por três lâminas de corrente diferentes localizadas em diferentes posições de y. Para resolver isso, vamos usar a teoria de campos magnéticos criados por lâminas de corrente, aplicando a Lei de Ampère. Precisaremos lembrar como calcular o campo magnético gerado por uma lâmina de corrente infinita e somar as contribuições de cada lâmina no ponto P.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a contribuição de uma única lâmina de corrente no campo magnético. Para uma lâmina infinita com corrente superficial K na direção x, o campo magnético B gerado é perpendicular tanto à direção da corrente como ao plano da lâmina. A direção do campo pode ser determinada pela regra da mão direita.
A fórmula para o campo magnético devido a uma lâmina infinita é:
B = mu0 K2 n
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A),
  • K é a corrente superficial,
  • n é o vetor unitário perpendicular à lâmina, determinando a direção do campo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada lâmina de corrente individualmente. Temos três lâminas com os seguintes valores de K e posições em y:
  1. $ \vec{K}_1 = 2,7 \hat{x} , (A/m) $ em $ y = 0,1 $
  2. $ \vec{K}_2 = -1,4 \hat{x} , (A/m) $ em $ y = 0,15 $
  3. $ \vec{K}_3 = -1,3 \hat{x} , (A/m) $ em $ y = 0,25 $
O ponto P está em $ (0, 0, 2, 0) $, que assumiremos como x = 0, y = 0, z = 2, t = 0 (se considerarmos quatro coordenadas). Porém, como estamos em eletromagnetismo estático, a coordenada temporal não influencia, então vamos trabalhar com as coordenadas espaciais x, y, z = (0, 0, 2).

Passo 4

Para cada lâmina, precisamos determinar se o ponto P está acima ou abaixo da lâmina, já que o campo magnético muda de direção dependendo disso. A posição de P em y = 0 significa que:
  • Para lâminas com $ y > 0 $, o ponto está “abaixo” delas.
  • Para lâminas com $ y < 0 $, o ponto estaria “acima” delas (não há nenhuma lâmina com $ y < 0 $ neste problema).
Mas, na verdade, todas as lâminas estão em y = 0,1, 0,15 e 0,25, que são todas maiores que y = 0, então P está abaixo de todas elas.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do campo magnético para cada lâmina:
Bi = mu0 Ki2 ni
Precisamos determinar a direção de $ \hat{n}_i $ para cada lâmina. Usando a regra da mão direita:
  • Se a corrente K está na direção x, e o ponto está abaixo da lâmina, o campo B estará na direção -z.
  • Se estivesse acima, estaria na direção +z.
Como P está abaixo de todas as lâminas, $ \hat{n}_i = -\hat{z} $ para todas.

Passo 6

Calculando o campo para cada lâmina:
  1. Lâmina 1:
B1 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 2,7 , A/m2 times (-z) = -4pi times 10^-7 times 2,72 z
  1. Lâmina 2:
B2 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times (-1,4) , A/m2 times (-z) = -4pi times 10^-7 times (-1,4)2 z
  1. Lâmina 3:
B3 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times (-1,3) , A/m2 times (-z) = -4pi times 10^-7 times (-1,3)2 z

Passo 7

Simplificando cada expressão:
  1. Lâmina 1:
B1 = -4pi times 10^-7 times 2,72 z = -5,4 times 10^-7 pi , z , T
  1. Lâmina 2:
B2 = -4pi times 10^-7 times (-1,4)2 z = 2,8 times 10^-7 pi , z , T
  1. Lâmina 3:
B3 = -4pi times 10^-7 times (-1,3)2 z = 2,6 times 10^-7 pi , z , T

Passo 8

Agora, somamos as contribuições de cada lâmina para obter o campo total B no ponto P:
Btotal = B1 + B2 + B3 = (-5,4 times 10^-7 pi) + (2,8 times 10^-7 pi) + (2,6 times 10^-7 pi) , z
Btotal = (-5,4 + 2,8 + 2,6) times 10^-7 pi , z = (-5,4 + 5,4) times 10^-7 pi , z = 0 , T , z

Resposta

O campo magnético total no ponto P(0, 0, 2, 0) é zero tesla, ou seja:
B = 0 , T

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