Derive a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr. Sabendo que a energia mais baixa de um elétron no átomo de hidrogênio ocorre para
, mostre a energia do estado fundamental e dos dois primeiros estados excitados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr. A gente vai precisar entender o modelo de Bohr, que descreve como os elétrons orbitam o núcleo em níveis de energia específicos. Vamos calcular a energia no estado fundamental (quando $ n = 1
n = 2 $ e $ n = 3 $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de energia do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia no nível $ n $,
- $ m_e $ é a massa do elétron,
- $ e $ é a carga do elétron,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …).
Passo 3
Vamos simplificar a expressão usando a constante de Rydberg para energia, que já considera todos esses valores físicos:
Isso significa que a energia de um elétron no átomo de hidrogênio é inversamente proporcional ao quadrado do número quântico principal $ n $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia para cada estado:
- Estado Fundamental ($ n = 1 $):
- Primeiro Estado Excitado ($ n = 2 $):
- Segundo Estado Excitado ($ n = 3 $):
Resposta
A energia do elétron no átomo de hidrogênio é:
- Estado Fundamental ($ n = 1 $): $ -13,6, eV $
- Primeiro Estado Excitado ($ n = 2 $): $ -3,4, eV $
- Segundo Estado Excitado ($ n = 3 $): $ -1,51, eV $