Algumas pessoas sentem mal-estar durante a subida de uma montanha, devido à menor pressão atmosférica em relação ao nível do mar. Por que a pressão atmosférica em grandes altitudes é menor?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado primeiro. O problema pergunta por que a pressão atmosférica cai quando a gente sobe uma montanha (ou seja, por que lá em cima o “peso” do ar é menor do que ao nível do mar). Esse assunto faz parte de Mecânica dos Fluidos (estática de fluidos). Para resolver, vamos usar:
  1. conceito de pressão em um fluido;
  2. equilíbrio hidrostático (dp/dz = –ρ·g);
  3. lei dos gases ideais para ligar densidade ρ e pressão p;
  4. integração dessa equação para ver como p varia com a altura z.

Passo 2

Pressão atmosférica é basicamente o peso do ar que está “em cima” de você, empurrando pra baixo. Quanto mais ar acima, maior esse empurrão, ou seja, maior a pressão. Se subimos, sobra menos ar acima, então o empurrão é menor. Mas vamos deixar isso bem matemático usando a ideia de equilíbrio hidrostático:
Em um fluido em repouso a variação infinitesimal de pressão dp ao subir de um pedacinho dz obedece
dp = -rho,g,dz
onde
– ρ é a densidade do ar (kg/m³),
– g é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²),
– z é a altura.

Passo 3

Agora precisamos expressar ρ em função de p, porque queremos uma equação só em função de p e z. Para isso, usamos a lei dos gases ideais (para ar aproximamos um gás ideal):
p,V = n,R,T
Se dividirmos ambos os lados por V e escrevermos p = mV,R,TM Longrightarrow rho = mV = p,MR,T (massa molar M do ar ≈ 0,029 kg/mol), temos

Passo 4

Substituindo ρ em dp = –ρ·g·dz:
dp = -l(p,MR,Tr),g,dz Longrightarrow dpp = -M,gR,T,dz
Aqui consideramos T praticamente constante (aproximação de atmosfera isotérmica), e M, g, R são constantes.

Passo 5

Integramos dos valores ao nível do mar (p(0) = p₀) até altura z (p(z)):
integralp0^p(z)dp'p' = -M,gR,Tintegral0^zdz' ;Longrightarrow; lnp(z)p0 = -M,gR,T,z
Aplicando exponencial:
p(z) = p0 ,exp!l(-M,gR,T,zr)
Isso mostra que a pressão cai exponencialmente com a altura.

Passo 6

Na prática, esse resultado diz que quanto maior z, menor é p(z) porque:
  1. há menos massa de ar “empurrando” de cima;
  2. a densidade do ar também diminui com a pressão;
  3. a combinação desses efeitos faz a pressão cair de forma exponencial.

Resposta

A pressão atmosférica em grandes altitudes é menor porque, conforme você sobe, a coluna de ar acima de você fica mais fina (menos massa), de modo que o peso — e portanto a pressão — decresce. Matematicamente, isso vem da equação de equilíbrio hidrostático combinada com a lei dos gases ideais, resultando numa queda exponencial de com a altura.

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