Algumas pessoas sentem mal-estar durante a subida de uma montanha, devido à menor pressão atmosférica em relação ao nível do mar. Por que a pressão atmosférica em grandes altitudes é menor?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado primeiro. O problema pergunta por que a pressão atmosférica cai quando a gente sobe uma montanha (ou seja, por que lá em cima o “peso” do ar é menor do que ao nível do mar). Esse assunto faz parte de Mecânica dos Fluidos (estática de fluidos). Para resolver, vamos usar:
- conceito de pressão em um fluido;
- equilíbrio hidrostático (dp/dz = –ρ·g);
- lei dos gases ideais para ligar densidade ρ e pressão p;
- integração dessa equação para ver como p varia com a altura z.
Passo 2
Pressão atmosférica é basicamente o peso do ar que está “em cima” de você, empurrando pra baixo. Quanto mais ar acima, maior esse empurrão, ou seja, maior a pressão. Se subimos, sobra menos ar acima, então o empurrão é menor. Mas vamos deixar isso bem matemático usando a ideia de equilíbrio hidrostático:
Em um fluido em repouso a variação infinitesimal de pressão dp ao subir de um pedacinho dz obedece
onde
– ρ é a densidade do ar (kg/m³),
– g é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²),
– z é a altura.
– ρ é a densidade do ar (kg/m³),
– g é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²),
– z é a altura.
Passo 3
Agora precisamos expressar ρ em função de p, porque queremos uma equação só em função de p e z. Para isso, usamos a lei dos gases ideais (para ar aproximamos um gás ideal):
Se dividirmos ambos os lados por V e escrevermos
(massa molar M do ar ≈ 0,029 kg/mol), temos
Passo 4
Substituindo ρ em dp = –ρ·g·dz:
Aqui consideramos T praticamente constante (aproximação de atmosfera isotérmica), e M, g, R são constantes.
Passo 5
Integramos dos valores ao nível do mar (p(0) = p₀) até altura z (p(z)):
Aplicando exponencial:
Isso mostra que a pressão cai exponencialmente com a altura.
Passo 6
Na prática, esse resultado diz que quanto maior z, menor é p(z) porque:
- há menos massa de ar “empurrando” de cima;
- a densidade do ar também diminui com a pressão;
- a combinação desses efeitos faz a pressão cair de forma exponencial.
Resposta
A pressão atmosférica em grandes altitudes é menor porque, conforme você sobe, a coluna de ar acima de você fica mais fina (menos massa), de modo que o peso — e portanto a pressão — decresce. Matematicamente, isso vem da equação de equilíbrio hidrostático
combinada com a lei dos gases ideais, resultando numa queda exponencial de
com a altura.