Determine o dominio, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos absolutos da função
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função pedaço-por-pedaço (piecewise):
O que o exercício pede:
- Domínio de
. - Intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Máximos e mínimos absolutos.
Pra isso, a gente vai usar derivada em cada pedaço, analisar sinal da derivada, ver continuidade eme checar valores extremos.
Passo 2
Determinar o domínio.
Cada expressão está definida para todo , e o ponto de “troca”
também está coberto (um dos pedaços vale até
, o outro vale depois de
, e ambos dão o mesmo valor lá).
Resposta:
Cada expressão está definida para todo
Resposta:
Passo 3
Calcular a derivada em cada parte.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Analisar o sinal de
para ver onde cresce ou decresce.
- Em
, usamos : como , a função está subindo ali. - Em
, usamos : como (pois ), está descendo ali. - Em
, ainda : agora , então sobe de novo.
Também dá pra olhar em
como ponto de transição, mas ele pertence ao trecho da esquerda, onde já vimos que vem crescendo até lá.
Logo:
Passo 5
Procurar extremos absolutos.
Pontos críticos internos:
Pontos críticos internos:
-
(pois ). -
é ponto de “troca” de expressão (mas não de domínio), vale checar.
Avaliar
nesses pontos:
Agora comparar com comportamentos nas “bordas”:
- Quando
, . - Quando
, .
Como a função vai a
para
e a
para
, não existe valor máximo nem mínimo global finito.
Resposta
Domínio:
.
Crescente em e em
.
Decrescente em .
Não há máximos ou mínimos absolutos (a função é não limitada inferior e superiormente).
Crescente em
Decrescente em
Não há máximos ou mínimos absolutos (a função é não limitada inferior e superiormente).