Determine o dominio, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos absolutos da função f(x)=x^3-

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função pedaço-por-pedaço (piecewise):
f(x)= x+4, & x<= -2, x^2-2, & x> -2
O que o exercício pede:
  1. Domínio de .
  2. Intervalos de crescimento e de decrescimento.
  3. Máximos e mínimos absolutos.
    Pra isso, a gente vai usar derivada em cada pedaço, analisar sinal da derivada, ver continuidade em e checar valores extremos.

Passo 2

Determinar o domínio.
Cada expressão está definida para todo Domínio = (-infty, +infty) , e o ponto de “troca” também está coberto (um dos pedaços vale até , o outro vale depois de , e ambos dão o mesmo valor lá).
Resposta:
í

Passo 3

Calcular a derivada em cada parte.
Para f1(x)=x+4 Longrightarrow f1'(x)=1 :
f2(x)=x^2-2 Longrightarrow f2'(x)=2x
Para :

Passo 4

Analisar o sinal de Crescente em (-infty,-2]e em (0,infty), para ver onde cresce ou decresce.
  1. Em Decrescente em (-2,0) , usamos : como , a função está subindo ali.
  2. Em , usamos : como (pois ), está descendo ali.
  3. Em , ainda : agora , então sobe de novo.
Também dá pra olhar em como ponto de transição, mas ele pertence ao trecho da esquerda, onde já vimos que vem crescendo até lá.
Logo:

Passo 5

Procurar extremos absolutos.
Pontos críticos internos:
  • f(-2)=(-2)+4=2, f(0)=0^2-2=-2 (pois ).
  • é ponto de “troca” de expressão (mas não de domínio), vale checar.
Avaliar nesses pontos:
Agora comparar com comportamentos nas “bordas”:
  • Quando , .
  • Quando , .
Como a função vai a para e a para , não existe valor máximo nem mínimo global finito.

Resposta

Domínio: .
Crescente em e em .
Decrescente em .
Não há máximos ou mínimos absolutos (a função é não limitada inferior e superiormente).

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