Algumas pressões de vapor do \mathrm{CO}_{2} sólido são
t -120,0^{\circ} \mathrm{C} -110,0^{\circ} \mathrm{C} -100,0^{\circ} \mathrm{C} -90,0^{\circ} \mathrm{C}
P / torr 9,81 34,63 104,81 279,5

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com pressões de vapor do dióxido de carbono sólido (CO _2) em quatro temperaturas. Os dados relevantes são:
\begin{array}{c|c|c|c|c} t & -120{,}0^\circ\mathrm{C} & -110{,}0^\circ\mathrm{C} & -100{,}0^\circ\mathrm{C} & -90{,}0^\circ\mathrm{C}\\hline P\\ /\\ \text{torr} & 9{,}81 & 34{,}63 & 104{,}81 & 279{,}5 \end{array}
Objetivo que vamos trabalhar: a partir desses dados, calcular a entalpia de sublimação \Delta H_{\text{sub}} do CO _2 assumindo que a entalpia é aproximadamente constante no intervalo de temperatura dado (ou seja, existe uma relação exponencial entre P e 1/T). Vou usar os dados da tabela tal como estão (pressões em torr — unidade que não afeta o resultado final para a entalpia quando usamos apenas a inclinação de uma reta \ln P vs 1/T).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter as temperaturas de ^\circ\mathrm{C} para kelvin. A conversão é dada por
T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Aplicando aos quatro pontos:
\begin{aligned} T_1 &= -120{,}0 + 273{,}15 = 153{,}15\\ \mathrm{K},\\\ T_2 &= -110{,}0 + 273{,}15 = 163{,}15\\ \mathrm{K},\\\ T_3 &= -100{,}0 + 273{,}15 = 173{,}15\\ \mathrm{K},\\\ T_4 &= -90{,}0 + 273{,}15 = 183{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Explanação curta: é obrigatório usar kelvin em leis termodinâmicas envolvendo energia por mol por kelvin (constante dos gases R), por isso a conversão.

Passo 3

Agora a formulação que usamos (a ideia essencial): para sublimação com entalpia aproximada constante, a equação de Clausius–Clapeyron lineariza-se como
\ln P = -\frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}\cdot\frac{1}{T} + C,
onde
  • \ln P é o logaritmo natural da pressão (qualquer unidade constante de pressão serve, pois altera só o termo C),
  • \Delta H_{\text{sub}} é a entalpia molar de sublimação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin,
  • C é uma constante de integração (intercepto da reta).
Interpretação prática: se plotarmos \ln P em função de 1/T obtemos uma reta de inclinação
m = -\frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}.
Logo, \Delta H_{\text{sub}} = -mR. Nosso objetivo será calcular a inclinação m ajustando uma reta aos quatro pontos (x_i,y_i) com x_i = 1/T_i e y_i = \ln P_i.

Passo 4

Calcular x_i = 1/T_i e y_i = \ln P_i para cada par (T_i,P_i). Usarei P_i em torr e o logaritmo natural.
Primeiro os 1/T:
\begin{aligned} \frac{1}{T_1} &= \frac{1}{153{,}15} = 0{,}006529\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_2} &= \frac{1}{163{,}15} = 0{,}006128\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_3} &= \frac{1}{173{,}15} = 0{,}005774\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_4} &= \frac{1}{183{,}15} = 0{,}005459\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}
Agora os \ln P (com P em torr):
\begin{aligned} \ln P_1 &= \ln(9{,}81) = 2{,}2834,\\\ \ln P_2 &= \ln(34{,}63) = 3{,}5446,\\\ \ln P_3 &= \ln(104{,}81) = 4{,}6522,\\\ \ln P_4 &= \ln(279{,}5) = 5{,}6320. \end{aligned}
Explicação: calculei \ln natural de cada pressão; esses valores serão os y_i do ajuste linear.

Passo 5

Ajuste linear por mínimos quadrados: para pontos (x_i,y_i) a inclinação da melhor reta é
m = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i. Vou calcular passo a passo com n=4.
Calcular médias:
\bar{x}=\frac{0{,}006529+0{,}006128+0{,}005774+0{,}005459}{4}=0{,}0059725\\ \mathrm{K^{-1}},
\bar{y}=\frac{2{,}2834+3{,}5446+4{,}6522+5{,}6320}{4}=4{,}02805.
Agora os termos (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e (x_i-\bar{x})^2:
\begin{aligned} (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y}) &= (0{,}006529-0{,}0059725)(2{,}2834-4{,}02805) \approx 0{,}0005565\cdot(-1{,}74465) \approx -0{,}0009710,\\\ (x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y}) &\approx 0{,}0001555\cdot(-0{,}48345) \approx -0{,}00007519,\\\ (x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y}) &\approx (-0{,}0001985)\cdot0{,}62415 \approx -0{,}0001239,\\\ (x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y}) &\approx (-0{,}0005135)\cdot1{,}60395 \approx -0{,}0008239. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \approx -0{,}0019940.
Agora (x_i-\bar{x})^2:
\begin{aligned} (0{,}0005565)^2 &\approx 3{,}097\times10^{-7},\\\ (0{,}0001555)^2 &\approx 2{,}419\times10^{-8},\\\ (-0{,}0001985)^2 &\approx 3{,}940\times10^{-8},\\\ (-0{,}0005135)^2 &\approx 2{,}638\times10^{-7}. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2 \approx 6{,}371\times10^{-7}.
Portanto a inclinação é
m = \frac{-0{,}0019940}{6{,}371\times10^{-7}} \approx -3131{,}7\\ \mathrm{K}.
Comentário: sinal negativo esperado — \ln P decresce quando 1/T cresce (temperatura menor), típico do comportamento exponencial.

Passo 6

Agora relacionamos a inclinação com a entalpia:
m = -\frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}\quad\Rightarrow\quad \Delta H_{\text{sub}} = -m\,R.
Usando R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e m = -3131{,}7\\ \mathrm{K}:
\Delta H_{\text{sub}} = -(-3131{,}7)\times 8{,}314 = 3131{,}7\times 8{,}314 \approx 26\,038\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}:
\Delta H_{\text{sub}} \approx 26{,}04\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Breve explicação: multiplicamos a inclinação (em \mathrm{K}) por R para obter energia por mol; o sinal negativo da inclinação dá entalpia positiva, como esperado (sublimação requer energia).

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o valor obtido \Delta H_{\text{sub}}\approx 26{,}0\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} está próximo de valores experimentais conhecidos para CO _2 (ordem de 25 26 kJ·mol ^{-1}), o que dá confiança no procedimento. Observações úteis para prova: é comum usar qualquer par de pontos para uma estimativa grosseira (dois pontos afastados dão resultado parecido), mas o ajuste por mínimos quadrados com todos os pontos dá uma estimativa mais robusta.
Força aí — a técnica essencial é:
  1. passar para kelvin,
  2. calcular 1/T e \ln P,
  3. ajustar reta \ln P vs 1/T,
  4. extrair \Delta H pela relação m=-\Delta H/R.

Resposta

\Delta H_{\text{sub}} \approx 26{,}04\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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