Em algumas situações é necessário fazer uma mudança de coordenadas para se calcular integrais triplas.
Considere a integral
onde
é a região contida entre os cilindros
e
e entre os planos
e
.
Assinale a alternativa que contém a representaçâo correta dessa integral em coordenadas cilíndricas.
A.
B.
C.
D.
E.
Considere a integral
Assinale a alternativa que contém a representaçâo correta dessa integral em coordenadas cilíndricas.
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para reescrever uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. A integral original é:
Aqui,
é a região entre dois cilindros
e
, e entre os planos
e
. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração accordingly.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
permanece o mesmo das coordenadas cartesianas.
As relações são:
Passo 3
Agora, vamos converter a função
para coordenadas cilíndricas. Como vimos:
Então, a integral original
se torna:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração.
- Para
, estamos entre os cilindros e . Isso significa que varia de até :
- Para
, como estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo , varia de a :
- Para
, está entre os planos e :
Passo 5
Agora, juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Resposta
A alternativa correta é a C: