Em algumas situações é necessário fazer uma mudança de coordenadas para se calcular integrais triplas.
Considere a integral
integralR integral dupla x d V
onde R é a região contida entre os cilindros x^2+y^2=36 e x^2+y^2=64 e entre os planos z=0 e z=5.
Assinale a alternativa que contém a representaçâo correta dessa integral em coordenadas cilíndricas.
A.
integral0^2 pi integral0^5 integral6^8 r^2 d r d z d theta
B. integral0^2 pi integral0^5 integral6^8 r cos (theta) d r d z d theta
C. integral0^2 pi integral0^5 integral0^8 r^2 cos (theta) d r d z d theta
D. integral0^pi integral0^5 integral6^8 r^2 cos (theta) d r d z d theta
E. integral0^pi integral0^5 integral6^8 r cos (theta) d r d z d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para reescrever uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. A integral original é:
integralR integral dupla x , dV
Aqui, é a região entre dois cilindros e , e entre os planos e . Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração accordingly.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por x = r cos(theta) , onde:
  • y = r sin(theta) é a distância do ponto até o eixo dV = r , dr , dtheta , dz ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • permanece o mesmo das coordenadas cartesianas.
As relações são:

Passo 3

Agora, vamos converter a função x = r cos(theta) para coordenadas cilíndricas. Como vimos:
integralR r cos(theta) cdot r , dr , dtheta , dz = integralR r^2 cos(theta) , dr , dtheta , dz
Então, a integral original se torna:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração.
  • Para 6 <= r <= 8 , estamos entre os cilindros 0 <= theta <= 2pi e 0 <= z <= 5 . Isso significa que varia de até :
  • Para , como estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo , varia de a :
  • Para , está entre os planos e :

Passo 5

Agora, juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^5 integral6^8 r^2 cos(theta) , dr , dz , dtheta

Resposta

A alternativa correta é a C:
integral0^2 pi integral0^5 integral6^8 r^2 cos (theta) , dr , dz , dtheta

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