e é a parte do cone que está entre os planos , orientado na direção positiva do eixo (isto é, a terceira coordenada do vetor normal unitário que determina a orientação da superfície , é positiva).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre a superfície usando o Teorema de Stokes. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha. Para isso, vamos precisar entender o que é a rotacional de um campo vetorial e como parametrizar a superfície e sua borda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de sobre é igual à integral de linha de ao longo da borda de . Matematicamente, isso é:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de , o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos identificar a superfície e sua borda . A superfície é a parte do cone entre os planos e . A borda desse cone é o círculo no plano com raio (pois quando , , então ).
Passo 4
Vamos parametrizar a curva que é a borda de . Como é um círculo no plano com raio , podemos usar coordenadas polares para fazer isso:
onde theta varia de 0 a 2pi.
Passo 5
Agora, precisamos expressar o vetor diferencial dr em termos de theta. Derivando as parametrizações em relação a theta:
dx = -3 sin theta , dtheta dy = 3 cos theta , dtheta dz = 0
Então,
dr = (-3 sin theta , dtheta) i + (3 cos theta , dtheta) j + 0 k
Passo 6
Vamos agora substituir as parametrizações na expressão do campo vetorial F:
F(x, y, z) = x^2 y z^3 i + x y z j + sin(x y z) k
Substituindo x = 3 cos theta, y = 3 sin theta, z = 3:
F = (9 cos^2 theta)(3 sin theta)(27) i + (3 cos theta)(3 sin theta)(3) j + sin(27 cos theta sin theta) k
Simplificando:
F = 729 cos^2 theta sin theta i + 27 cos theta sin theta j + sin(27 cos theta sin theta) k
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [729 cos^2 theta sin theta] cdot [-3 sin theta , dtheta] + [27 cos theta sin theta] cdot [3 cos theta , dtheta] + [sin(27 cos theta sin theta)] cdot 0
Simplificando:
F cdot dr = -2187 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta + 81 cos^2 theta sin theta , dtheta
Passo 8
Agora, vamos integrar de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -2187 cos^2 theta sin^2 theta + 81 cos^2 theta sin theta ) dtheta
Essa integral pode ser resolvida termo a termo. Note que:
A primeira parte envolve cos^2 theta sin^2 theta, cuja integral de 0 a 2pi é pi/2.
A segunda parte envolve cos^2 theta sin theta, que integra para zero ao longo de um ciclo completo, pois é uma função ímpar.