Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S onde
F(x, y, z)=x^2 y z^3 i+x y z j+sen(x y z) k
e S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=0 e z=3, orientado na direção positiva do eixo z (isto é, a terceira coordenada do vetor normal unitário que determina a orientação da superfície S, é positiva).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S usando o Teorema de Stokes. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha. Para isso, vamos precisar entender o que é a rotacional de um campo vetorial e como parametrizar a superfície e sua borda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S. Matematicamente, isso é:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot dr
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de S, o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos identificar a superfície S e sua borda partial S. A superfície S é a parte do cone z^2 = x^2 + y^2 entre os planos z=0 e z=3. A borda desse cone é o círculo no plano z=3 com raio 3 (pois quando z=3, x^2 + y^2 = 9, então r = 3).

Passo 4

Vamos parametrizar a curva que é a borda de S. Como é um círculo no plano z=3 com raio 3, podemos usar coordenadas polares para fazer isso:
x = 3 cos theta y = 3 sin theta z = 3
onde theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, precisamos expressar o vetor diferencial dr em termos de theta. Derivando as parametrizações em relação a theta:
dx = -3 sin theta , dtheta dy = 3 cos theta , dtheta dz = 0
Então,
dr = (-3 sin theta , dtheta) i + (3 cos theta , dtheta) j + 0 k

Passo 6

Vamos agora substituir as parametrizações na expressão do campo vetorial F:
F(x, y, z) = x^2 y z^3 i + x y z j + sin(x y z) k
Substituindo x = 3 cos theta, y = 3 sin theta, z = 3:
F = (9 cos^2 theta)(3 sin theta)(27) i + (3 cos theta)(3 sin theta)(3) j + sin(27 cos theta sin theta) k
Simplificando:
F = 729 cos^2 theta sin theta i + 27 cos theta sin theta j + sin(27 cos theta sin theta) k

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [729 cos^2 theta sin theta] cdot [-3 sin theta , dtheta] + [27 cos theta sin theta] cdot [3 cos theta , dtheta] + [sin(27 cos theta sin theta)] cdot 0
Simplificando:
F cdot dr = -2187 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta + 81 cos^2 theta sin theta , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -2187 cos^2 theta sin^2 theta + 81 cos^2 theta sin theta ) dtheta
Essa integral pode ser resolvida termo a termo. Note que:
  1. A primeira parte envolve cos^2 theta sin^2 theta, cuja integral de 0 a 2pi é pi/2.
  2. A segunda parte envolve cos^2 theta sin theta, que integra para zero ao longo de um ciclo completo, pois é uma função ímpar.
Então,
integral0^2pi -2187 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta = -2187 cdot pi2 = -1093.5 pi
E,
integral0^2pi 81 cos^2 theta sin theta , dtheta = 0

Resposta

Portanto, a integral de superfície integral duplaS rot F cdot d S é igual a -1093.5 pi.

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