(2 pontos) Encontre e classifique os valores extremos de
que pertencem à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar e classificar os valores extremos da função
que estão na reta
. Isso envolve conceitos de otimização com restrições, onde a gente busca pontos máximos ou mínimos de uma função dentro de uma condição específica. Para resolver, vamos precisar usar substituição e calcular derivadas para encontrar esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a restrição dada pela reta
para expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de
na função original
:
Dessa forma, reduzimos a função de duas variáveis para uma variável
, o que facilita encontrar os extremos.
Passo 4
Com a função simplificada
, vamos encontrar os extremos calculando a derivada em relação a
e igualando-a a zero. A derivada de
é:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos:
Passo 6
Com
, usamos a restrição
para encontrar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Para classificar esse ponto como máximo ou mínimo, observamos o comportamento da função
. O coeficiente do termo
é negativo (
), o que significa que a parábola é “côncava para baixo” e, portanto, o ponto encontrado é um máximo.
Resposta
O valor extremo máximo da função
sobre a reta
é 2, alcançado no ponto
.