(2 pontos) Encontre e classifique os valores extremos de f(x, y)=2 x y que pertencem à reta x+y=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar e classificar os valores extremos da função que estão na reta . Isso envolve conceitos de otimização com restrições, onde a gente busca pontos máximos ou mínimos de uma função dentro de uma condição específica. Para resolver, vamos precisar usar substituição e calcular derivadas para encontrar esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a restrição dada pela reta y = 2 - x para expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo, podemos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de f(x, 2 - x) = 2x(2 - x) = 4x - 2x^2 na função original :
Dessa forma, reduzimos a função de duas variáveis para uma variável , o que facilita encontrar os extremos.

Passo 4

Com a função simplificada f'(x) = 4 - 4x , vamos encontrar os extremos calculando a derivada em relação a e igualando-a a zero. A derivada de é:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos:
4 - 4x = 0 implies x = 1

Passo 6

Com y = 2 - 1 = 1 , usamos a restrição para encontrar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Para classificar esse ponto como máximo ou mínimo, observamos o comportamento da função . O coeficiente do termo é negativo ( ), o que significa que a parábola é “côncava para baixo” e, portanto, o ponto encontrado é um máximo.

Resposta

O valor extremo máximo da função sobre a reta é 2, alcançado no ponto .

Exercícios relacionados