Calcule a integral de linha da função f(x, y)=1+x y ao longo da curva C, a metade superior da circunferência x^2+y^2=1 :
ointC(1+x y) d s
utilizando:
  • (b) Aplicação do Teorema de Green.

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha escalar ointC(1+xy),ds em que C é a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem. O conteúdo principal envolve usar o Teorema de Green na forma de divergência (fluxo) para converter a integral de linha escalar numa integral dupla sobre a região D limitada por C e o diâmetro.

Passo 2

Para usar o Teorema de Green em forma de divergência, escolhemos um campo vetorial F=(P,Q) tal que na fronteira C valha Fcdotn,ds = f,ds. Como em C temos x^2+y^2=1 e o vetor normal unitário é n=(x,y), basta tomar
P=x,(1+xy), Q=y,(1+xy)
Então na curva
Fcdotn = P,x + Q,y = (x^2+y^2)(1+xy)=1+xy,
como desejado.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Green na forma de divergência:
ointC(1+xy),ds = ointCFcdotn,ds = integral duplaDl(partialx P + partialy Qr),dA
Calculamos a divergência:
partialx P = 1 + 2xy, partialy Q = 1 + 2xy, nablacdotF = 2 + 4xy

Passo 4

A região D é o semidisco x^2+y^2<=1, y>=0. Usando coordenadas polares ( x=rcostheta,,y=rsintheta) com rin[0,1] e thetain[0,pi], temos xy= r^2costhetasintheta e o elemento de área dA=r,dr,dtheta. Assim
integral duplaD(2+4xy),dA = integral0^piintegral0^1l(2 + 4,tfracr^22sin2thetar),r,dr,dtheta = integral0^piintegral0^1(2r +2r^3sin2theta),dr,dtheta

Passo 5

Calculamos a integral em r:
integral0^1(2r +2r^3sin2theta),dr = l[r^2 + tfrac12r^4sin2thetar]0^1 = 1 + tfrac12sin2theta
Agora em theta:
integral0^pil(1 + tfrac12sin2thetar),dtheta = l[theta - tfrac14cos2thetar]0^pi = pi - tfrac14(cos2pi - cos0) = pi

Resposta

pi

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