Calcule a integral de linha da função
ao longo da curva
, a metade superior da circunferência
:
utilizando:
- (b) Aplicação do Teorema de Green.
Passo 1
Temos que calcular a integral de linha escalar
em que
é a semicircunferência superior de raio 1 centrada na origem. O conteúdo principal envolve usar o Teorema de Green na forma de divergência (fluxo) para converter a integral de linha escalar numa integral dupla sobre a região
limitada por
e o diâmetro.
Passo 2
Para usar o Teorema de Green em forma de divergência, escolhemos um campo vetorial
tal que na fronteira
valha
. Como em
temos
e o vetor normal unitário é
, basta tomar
Então na curva
como desejado.
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema de Green na forma de divergência:
Calculamos a divergência:
Passo 4
A região
é o semidisco
,
. Usando coordenadas polares (
) com
e
, temos
e o elemento de área
. Assim
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Agora em
: