Algumas vezes o recurso eólico é dado em termos de densidade de potência em W/m² (P/A). Se a densidade de potência de um local é dada como sendo de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, qual é a velocidade média do vento do local?
R.: 5,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O problema dá a densidade de potência do vento num local e pede a velocidade média do vento. Dados fornecidos (do enunciado):
\frac{P}{A}=100\\ \mathrm{W/m^2}
Pergunta: qual é a velocidade média do vento v que corresponde a essa densidade de potência?

Passo 2

Conceito e fórmula que liga potência por área à velocidade do vento. Vamos entender de onde vem a relação:
  • A massa de ar que atravessa uma área A por segundo é \frac{dm}{dt}=\rho A v, onde:
    \rho é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^3}),
    A é a área (em \mathrm{m^2}),
    v é a velocidade do vento (em \mathrm{m/s}).
  • A energia cinética por unidade de massa é \tfrac{1}{2}v^2. Multiplicando pela massa por segundo obtemos a potência: P=\tfrac{1}{2}\frac{dm}{dt}v^2.
  • Substituindo \frac{dm}{dt}=\rho A v temos P=\tfrac{1}{2}\rho A v^3.
  • Dividindo por A (para obter densidade de potência, P/A) resulta na fórmula usada em vento:
\frac{P}{A}=\frac{1}{2}\rho v^3.
Explicação das variáveis: \frac{P}{A} é potência por área (W/m²), \rho é densidade do ar (kg/m³), v é velocidade do vento (m/s). Essa fórmula assume fluxo uniforme e que estamos calculando a potência cinética disponível no vento (não a potência que uma turbina necessariamente extrairá).

Passo 3

Isolando v na fórmula \frac{P}{A}=\frac{1}{2}\rho v^3:
v^3=\frac{2(P/A)}{\rho}
e portanto
v=\left(\frac{2(P/A)}{\rho}\right)^{1/3}.
Isto é só manipular equações: multiplicamos ambos os lados por 2/\rho e depois tiramos a raiz cúbica.

Passo 4

Escolha do valor da densidade do ar \rho. Para cálculos padrão usamos a densidade do ar ao nível do mar e temperatura moderada:
\rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação: se a altitude for maior ou a temperatura muito diferente, \rho muda e a velocidade resultante também muda um pouco. Aqui usaremos \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3} como valor típico.

Passo 5

Substituindo os números na expressão:
v=\left(\frac{2\cdot 100}{1,225}\right)^{1/3}.
Calculemos passo a passo:
\frac{2\cdot 100}{1,225}=\frac{200}{1,225}\approx 163,265306.
Agora tiramos a raiz cúbica desse número. Para estimar: 5,4^3\approx 157,464 e 5,5^3\approx 166,375, então o valor buscado está entre 5,4 e 5,5, bem próximo de 5,5. Fazendo a raiz cúbica com maior precisão obtemos aproximadamente
v\approx 5,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação e observações finais: o resultado \,5,5\\ \mathrm{m/s} é a velocidade média do vento que corresponde à densidade de potência dada, usando \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3}. Se usássemos \rho um pouco diferente (por exemplo 1,20\\ \mathrm{kg/m^3}) o valor de v mudaria muito pouco (para cerca de 5,52\\ \mathrm{m/s}). Portanto 5,5\\ \mathrm{m/s} é uma resposta consistente e arredondada adequada para prova.

Resposta

5,5\\ \mathrm{m/s}

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