Alguns fabricantes de painéis utilizam cabos metálicos, aumentando assim o número de pessoas se queimarem. Analisando o problema do ponto de vista de um engenheiro mecânico, deecide-se calcular o comprimento de segurança a partir do qual é possível manusear a panela pelo cabo sem risco. Percebe-se então que o cabo se comporta como uma aleta cilíndrica tendo a seção transversal com área Ax e perímetro Px, onde a temperatura da base (ponto de contato com a panela) é Tb . O restante do cabo troca calor por convecção com o ar (coeficiente h conhecido), o que está à temperatura Tar. Obtenha a solução para a distribuição de temperatura no cabo considerando que a extremidade \mathrm{x}=\mathrm{L} encontra-se à temperatura do ar. Calcule também o valor da distância mínima segura \mathrm{x}_{\text {seg }} a partir da qual a temperatura do cabo estará abaixo de um valor seguro \mathrm{T}_{\text {max }}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados (fornecidos no enunciado):
    • A seção transversal do cabo: A_x (área constante ao longo do cabo).
    • O perímetro da seção do cabo: P_x.
    • Temperatura da base (ponto de contato com a panela), em x=0: T_b.
    • A extremidade do cabo em x=L está na temperatura do ar: T(L)=T_{ar}.
    • Troca de calor por convecção ao longo da lateral com coeficiente h e temperatura do ar T_{ar}.
    • (É necessário) condutividade térmica do material do cabo: k (assumo conhecida).
    • Temperatura segura desejada: T_{\max}.
  • O que se pede:
    1. Obter a distribuição de temperatura T(x) ao longo do cabo para 0\le x\le L, considerando as condições dadas.
    2. Calcular a distância mínima segura x_{\text{seg}} tal que, para x\ge x_{\text{seg}}, a temperatura do cabo esteja abaixo de T_{\max}.
Observação: daqui em diante vou montar a equação de balanço de energia, resolver a equação diferencial e aplicar as condições de contorno para obter T(x) e em seguida despejar x_{\text{seg}}.

Passo 2

Balanço de energia em um elemento diferencial do cabo.
Considere um elemento de comprimento dx no ponto x. A taxa de calor por condução para a direita em x é
q_x = -k A_x \frac{dT}{dx}\Big|_{x},
e em x+dx é
q_{x+dx} = -k A_x \frac{dT}{dx}\Big|_{x+dx}.
A perda por convecção sobre a superfície lateral do elemento é aproximadamente
h P_x (T-T_{ar})\,dx.
Balanço de energia em regime estacionário (sem acumulação): fluxo que entra menos que sai menos perda por convecção é zero:
q_x - q_{x+dx} - h P_x (T-T_{ar})\,dx = 0.
Expandindo q_{x+dx} em série e dividindo por dx obtemos a forma diferencial abaixo.

Passo 3

Derivando o balanço chegamos à equação diferencial de segunda ordem:
\frac{d}{dx}\!\left(-k A_x \frac{dT}{dx}\right) - h P_x (T-T_{ar}) = 0.
Como A_x e k são constantes ao longo do cabo, isto simplifica para
k A_x \frac{d^2 T}{dx^2} - h P_x (T-T_{ar}) = 0.
Dividindo por k A_x e definindo \theta(x)=T(x)-T_{ar} (a diferença de temperatura em relação ao ar) obtemos a equação canônica:
\frac{d^2 \theta}{dx^2} - m^2 \theta = 0,
onde definimos a constante
m^2 = \frac{h P_x}{k A_x}.
Observação didática: m tem unidade \mathrm{m}^{-1} e quantifica quão rápido a temperatura decai devido à convecção em relação à condução.

Passo 4

Resolver a equação diferencial homogênea. A equação
\frac{d^2 \theta}{dx^2} - m^2 \theta = 0
tem solução geral (funções hiperbólicas)
\theta(x) = C_1 \operatorname{cosh}(m x) + C_2 \operatorname{sinh}(m x),
onde \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são as funções hiperbólicas: \operatorname{cosh} z=(e^z+e^{-z})/2 e \operatorname{sinh} z=(e^z-e^{-z})/2.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno:
  • Na base x=0: T(0)=T_b então \theta(0)=T_b-T_{ar}. Assim \theta(0)=C_1 = T_b-T_{ar} \equiv \theta_b.
  • Na extremidade x=L: T(L)=T_{ar} então \theta(L)=0. Substituindo: 0 = \theta(L) = C_1 \operatorname{cosh}(mL) + C_2 \operatorname{sinh}(mL).
Usando C_1=\theta_b obtemos
C_2 = -\theta_b \frac{\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{sinh}(mL)} = -\theta_b \coth(mL).

Passo 6

Montando a solução com os coeficientes encontrados:
\theta(x) = \theta_b\left[\operatorname{cosh}(m x) - \coth(mL)\operatorname{sinh}(m x)\right].
Agora uso a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}(m x) - \coth(mL)\operatorname{sinh}(m x) = \frac{\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{sinh}(mL)},
portanto a forma mais compacta e intuitiva é
\theta(x)= (T_b-T_{ar})\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{sinh}(mL)}.
Voltando à temperatura absoluta:
\boxed{T(x) = T_{ar} + (T_b-T_{ar})\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{sinh}(mL)},\quad m=\sqrt{\dfrac{h P_x}{k A_x}}.}
Explicação prática: esta fórmula mostra que a diferença entre a temperatura local e o ar decresce desde \theta_b em x=0 até zero em x=L, com a forma hiperbólica típica de aletas/haste submetidas à convecção.

Passo 7

Determinar x_{\text{seg}} tal que T(x_{\text{seg}})=T_{\max}. Em termos de \theta,
\theta(x_{\text{seg}})=T_{\max}-T_{ar}.
Usando a expressão para \theta(x),
T_{\max}-T_{ar} = (T_b-T_{ar})\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x_{\text{seg}})\big)}{\operatorname{sinh}(mL)}.
Isolando a função hiperbólica e aplicando a função inversa \operatorname{arsinh} (inversa de \operatorname{sinh}):
\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x_{\text{seg}})\big) = \frac{T_{\max}-T_{ar}}{T_b-T_{ar}}\,\operatorname{sinh}(mL).
Logo
m(L-x_{\text{seg}}) = \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{T_{\max}-T_{ar}}{T_b-T_{ar}}\,\operatorname{sinh}(mL)\right).
Finalmente,
\boxed{\,x_{\text{seg}} = L - \frac{1}{m}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{T_{\max}-T_{ar}}{T_b-T_{ar}}\,\operatorname{sinh}(mL)\right).\,}
Observações sobre domínio e sinais:
  • Para que haja solução física com 0\le x_{\text{seg}}\le L normalmente se espera T_{ar}\le T_{\max}\le T_b.
  • Se T_{\max}\ge T_b então x_{\text{seg}}=0 (a temperatura já está abaixo de T_{\max} na base);
  • se T_{\max}\le T_{ar} então x_{\text{seg}}\ge L (mesmo na ponta a temperatura não está abaixo de T_{\max}, ou seja, o cabo nunca fica tão frio); nesses casos deve-se revisar as condições físicas ou o critério.

Passo 8

Casos úteis e simplificações (dica prática para prova):
  • Para hastes muito longas ( mL\gg1) pode-se usar \operatorname{sinh}(mL)\approx \tfrac12 e^{mL} e a solução tende para a forma exponencial decrescente T(x)\approx T_{ar} + (T_b-T_{ar})e^{-m x},e então x_{\text{seg}}\approx \dfrac{1}{m}\ln\!\Big(\dfrac{T_b-T_{ar}}{T_{\max}-T_{ar}}\Big).
  • Lembre-se sempre de calcular m=\sqrt{hP_x/(kA_x)} com unidades consistentes: h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, P_x e A_x em \mathrm{m} e \mathrm{m^2}, k em \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Resposta

T(x) = T_{ar} + (T_b-T_{ar})\,\dfrac{\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{sinh}(mL)},\quad m=\sqrt{\dfrac{hP_x}{kA_x}}.\n
x_{\text{seg}} = L - \dfrac{1}{m}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{T_{\max}-T_{ar}}{T_b-T_{ar}}\,\operatorname{sinh}(mL)\right).

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