Alguns fabricantes de painéis utilizam cabos metálicos, aumentando assim o número de pessoas se queimarem. Analisando o problema do ponto de vista de um engenheiro mecânico, deecide-se calcular o comprimento de segurança a partir do qual é possível manusear a panela pelo cabo sem risco. Percebe-se então que o cabo se comporta como uma aleta cilíndrica tendo a seção transversal com área Ax e perímetro Px, onde a temperatura da base (ponto de contato com a panela) é Tb . O restante do cabo troca calor por convecção com o ar (coeficiente h conhecido), o que está à temperatura Tar. Obtenha a solução para a distribuição de temperatura no cabo considerando que a extremidade \mathrm{x}=\mathrm{L} encontra-se à temperatura do ar. Calcule também o valor da distância mínima segura \mathrm{x}_{\text {seg }} a partir da qual a temperatura do cabo estará abaixo de um valor seguro \mathrm{T}_{\text {max }}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
Dados (fornecidos no enunciado):
A seção transversal do cabo: A_x (área constante ao longo do cabo).
O perímetro da seção do cabo: P_x.
Temperatura da base (ponto de contato com a panela), em x=0: T_b.
A extremidade do cabo em x=L está na temperatura do ar: T(L)=T_{ar}.
Troca de calor por convecção ao longo da lateral com coeficiente h e temperatura do ar T_{ar}.
(É necessário) condutividade térmica do material do cabo: k (assumo conhecida).
Temperatura segura desejada: T_{\max}.
O que se pede:
Obter a distribuição de temperatura T(x) ao longo do cabo para 0\le x\le L, considerando as condições dadas.
Calcular a distância mínima segura x_{\text{seg}} tal que, para x\ge x_{\text{seg}}, a temperatura do cabo esteja abaixo de T_{\max}.
Observação: daqui em diante vou montar a equação de balanço de energia, resolver a equação diferencial e aplicar as condições de contorno para obter T(x) e em seguida despejar x_{\text{seg}}.
Passo 2
Balanço de energia em um elemento diferencial do cabo.
Considere um elemento de comprimento dx no ponto x. A taxa de calor por condução para a direita em x é
q_x = -k A_x \frac{dT}{dx}\Big|_{x},
e em x+dx é
q_{x+dx} = -k A_x \frac{dT}{dx}\Big|_{x+dx}.
A perda por convecção sobre a superfície lateral do elemento é aproximadamente
h P_x (T-T_{ar})\,dx.
Balanço de energia em regime estacionário (sem acumulação): fluxo que entra menos que sai menos perda por convecção é zero:
q_x - q_{x+dx} - h P_x (T-T_{ar})\,dx = 0.
Expandindo q_{x+dx} em série e dividindo por dx obtemos a forma diferencial abaixo.
Passo 3
Derivando o balanço chegamos à equação diferencial de segunda ordem:
\frac{d}{dx}\!\left(-k A_x \frac{dT}{dx}\right) - h P_x (T-T_{ar}) = 0.
Como A_x e k são constantes ao longo do cabo, isto simplifica para
k A_x \frac{d^2 T}{dx^2} - h P_x (T-T_{ar}) = 0.
Dividindo por k A_x e definindo \theta(x)=T(x)-T_{ar} (a diferença de temperatura em relação ao ar) obtemos a equação canônica:
\frac{d^2 \theta}{dx^2} - m^2 \theta = 0,
onde definimos a constante
m^2 = \frac{h P_x}{k A_x}.
Observação didática: m tem unidade \mathrm{m}^{-1} e quantifica quão rápido a temperatura decai devido à convecção em relação à condução.
Passo 4
Resolver a equação diferencial homogênea. A equação
onde \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são as funções hiperbólicas: \operatorname{cosh} z=(e^z+e^{-z})/2 e \operatorname{sinh} z=(e^z-e^{-z})/2.
Passo 5
Aplicar as condições de contorno:
Na base x=0: T(0)=T_b então \theta(0)=T_b-T_{ar}. Assim\theta(0)=C_1 = T_b-T_{ar} \equiv \theta_b.
Na extremidade x=L: T(L)=T_{ar} então \theta(L)=0. Substituindo:0 = \theta(L) = C_1 \operatorname{cosh}(mL) + C_2 \operatorname{sinh}(mL).
Explicação prática: esta fórmula mostra que a diferença entre a temperatura local e o ar decresce desde \theta_b em x=0 até zero em x=L, com a forma hiperbólica típica de aletas/haste submetidas à convecção.
Passo 7
Determinar x_{\text{seg}} tal que T(x_{\text{seg}})=T_{\max}. Em termos de \theta,
\boxed{\,x_{\text{seg}} = L - \frac{1}{m}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{T_{\max}-T_{ar}}{T_b-T_{ar}}\,\operatorname{sinh}(mL)\right).\,}
Observações sobre domínio e sinais:
Para que haja solução física com 0\le x_{\text{seg}}\le L normalmente se espera T_{ar}\le T_{\max}\le T_b.
Se T_{\max}\ge T_b então x_{\text{seg}}=0 (a temperatura já está abaixo de T_{\max} na base);
se T_{\max}\le T_{ar} então x_{\text{seg}}\ge L (mesmo na ponta a temperatura não está abaixo de T_{\max}, ou seja, o cabo nunca fica tão frio); nesses casos deve-se revisar as condições físicas ou o critério.
Passo 8
Casos úteis e simplificações (dica prática para prova):
Para hastes muito longas (mL\gg1) pode-se usar \operatorname{sinh}(mL)\approx \tfrac12 e^{mL} e a solução tende para a forma exponencial decrescenteT(x)\approx T_{ar} + (T_b-T_{ar})e^{-m x},e então x_{\text{seg}}\approx \dfrac{1}{m}\ln\!\Big(\dfrac{T_b-T_{ar}}{T_{\max}-T_{ar}}\Big).
Lembre-se sempre de calcular m=\sqrt{hP_x/(kA_x)} com unidades consistentes: h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, P_x e A_x em \mathrm{m} e \mathrm{m^2}, k em \mathrm{W/(m\cdot K)}.